On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees. (Q5909128)

Anschließend an frühere Untersuchungen des Verf. [Quart. J. 45, 170--186 (1914; JFM 45.0300.02)] wird in diese Arbeit gezeigt, daß die allgemeine Lösung der diophantischen Gleichung \[ \displaylines{\rlap{\qquad(1)} \hfill x^4-px^3y-qx^2y^2-rxy^3-sy^4=az^2 \hfill} \] rational durch eine endliche Anzahl von speziellen Lösungen dargestellt werden kann. Aus der Zerlegung der linken Seite von (1) in \[ (x-\theta y)\,(x^3-(\theta-p)\,x^2y-\ldots) \] im Körper \(k(\theta)\) der durch \(\theta^4-p\theta^3-q\theta^2-r\theta-s=0\) definierten Zahl \(\theta\) folgt, daß \[ \displaylines{\rlap{\qquad(2)} \hfill x-\theta p=\frac{\sigma}{M}v^2\quad (v\;\;\text{ganz, algebraisch}) \hfill} \] gesetzt werden kann, wo für die ganzen Zahlen \(\sigma\) (algebraisch) und \(M\) (rational) nur eine endliche Anzahl von Werten in Frage kommen. Bezeichnet \(x_0\) \(y_0\) eine bestimmte, etwa die kleinste (\(x_0^2+y_0^2=\text{Min}.\)) zu denselben \(\sigma\), \(M\) gehörende Lösung, so kann die Gleichung (2) durch \[ \displaylines{\rlap{\qquad(3)} \hfill M^2(x-\theta y)\,(x_0-\theta y_0)= (A+B\theta+C\theta^2+D\theta^3)^2 \hfill} \] mit ganzen rationalen \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) ersetzt werden. Der Verf. gibt nun ein Verfahren an, nach welchem aus jeder Lösung \((x, y)\) von (1) mittels der Gleichung (3) rational eine neue abgeleitet wird, die von der Größenordnung \(|\,x\,|^{\frac{1}{2}}+|\,y\,|^{\frac{1}{2}}\) ist. Da jede Lösung \(x\), \(y\) einem der endlich vielen Gleichungstypen (3) angehört, läßt sie sich durch sukzessive Anwendung des genannten Verfahrens rational auf eine beschränkte Anzahl von Grundlosungen \(x_1\), \(y_1\), \dots, \(x_n\), \(y_n\) zurückführen. Der Verf. zeigt auch den geometrischen und analytischen Sinn seiner Reduktion. Nachdem (1) durch birationale Transformation in die Form \[ y^2=4x^3-g_2x-g_3 \] übergeführt worden ist, ergibt sich aus einer gewissen endlichen Anzahl von Lösungen \[ x_i=\wp(u_i),\;\;y_i=\wp'(u_i)\qquad(i=1,2,\dots,n) \] die allgemeine nach der Formel \[ x=\wp(m_1u_1+\dots +m_nu_n),\;\;y=\wp'(m_1u_1+\dots +m_nu_n), \] mit ganzen \(m_i\). Zum Schluß werden einige vermutete Sätze über diophantische Gleichungen angegeben.