The theory of modular partitions. (Q5909131)

Verf. zerlegt die Partitionen einer beliebigen natürlichen Zahl \(n = k_1+\cdots +k_\nu \) noch nach einem festen Modul \(m\) (\(k_\mu = c_\mu m + r_\mu \)), woraufhin eine feinere Einteilung ermöglicht wird. Schreibt man noch die \(k_\mu \) so untereinander, daß jeweilig von der ersten Kolonne an \(m\) \(c_\mu \)-mal und dahinter \(r_\mu \), ausgeschrieben wird, so hat man ein Schema, bei dem der symmetrische Fall besonders interessant ist; für den Modul 2 ist z. B. die Ursprungsfunktion der entsprechenden Partititionen gegeben durch \(\prod _1^\infty \frac{1+q^{2\mu +1}}{1-q^{2\mu }}\), für einen beliebigen Modul \(m\) durch \[ \prod _1^\infty \frac{1+q^{m\mu +1}++q^{m\mu +2}+\cdots +q^{m\mu +m-1}} {1-q^{m\mu }}. \] Man kann die entsprechenden Funktionen auch aufstellen, wenn \(\nu \) bzw. \(k_\nu \) nach oben beschränkt werden, u. ä. m.; endlich lassen sich auch jeweilig algebraische Ursprungsfunktionen mit mehreren Variablen angeben.