On the composition of quadratic forms. (Q5909134)

Sind \(\varphi \), \(\psi \), \(\chi \) drei quadratische Formen der \(n\) Variablen \(x_1, x_2,\ldots, x_n\), so versteht der Verf. unter deren Komposition die Angabe der bilinearen Formen: \[ z_i=\sum _{\alpha =1}^n \sum _{\beta =1}^n c_{\alpha\beta }^{(i)}x_\alpha y_\beta \qquad (i=1,2,\ldots,n), \] so daß identisch in allen \(x\), \(y\): \[ \varphi (x)\psi (y)=\chi (z) \] wird. Da man die quadratischen Formen durch lineare Transformationen stets auf eine Summe von Quadraten zurückführen kann, so ist die Komposition ein Spezialfall des Problemes: Man soll die \(z_1, z_2,\ldots,z_n\) so als bilineare Funktionen der Variablensysteme: \[ x_1, x_2,\ldots, x_n \;\;\text{und}\;\;y_1, y_2,\ldots,y_n \] bestimmen, daß: \[ (x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+\cdots +x_p^2)(y_1^2+ y_2^2+ \cdots +y_n^2) = (z_1^2+ z_2^2+ \cdots +z_n^2) \] wird. Dabei sind \(n\) und \(p\) gegebene positive ganze Zahlen und \(n\geqq p\geqq 2\). Der Verf. gibt den Weg an, um diese Aufgabe zu lösen. I. Der Verf. stellt Sätze aus der Matrizenrechnung zusammen. II. Die Aufgabe wird darauf zurückgeführt, alle Systeme von \(p-1\) Matrizen \(n\)-ter Ordnung \(B_1, B_2,\ldots,B_{p-1}\) zu bestimmen, die schiefsymmetrisch sind, und für die: \[ B_h^2=1;\;\;B_hB_k=-B_kB_h \qquad (h,k=1,2,\ldots,p-1, \;h\neq k). \] III. Die letztere Aufgabe wird gelöst, indem zunächst von der Bedingung der schiefen Symmetrie abgesehen wird. Die Lösung ist nur möglich, wenn \(n\) gewisse Bedingungen bezüglich \(p\) erfüllt. Ist \(n = p\), so ist sie sogar nur für \(n = 2, 4, 8\) lösbar und ergibt dann die bekannten Formeln. IV. Aus den Lösungen von III. werden diejenigen herausgesucht, die schiefsymmetrisch sind. Dies gestattet, die zu Beginn gestellte Aufgabe zu lösen.