Some problems of diophantine approximation: A further note on the trigonometrical series associated with the elliptic theta-functions. (Q5909141)

Als Ergänzung zu den von den Verfassern in Acta Math. 37, 193-238 (F. d. M. 45, 305) aufgestellten Resultaten werden folgende Sätze bewiesen: Es sei: \[ \begin{matrix} \;& \;& \l \\ s_n^2 & = s_n^2 (x, \theta) & = \sum\limits_{\nu \leqq n} e^{(\nu - \frac12)^2 \pi i x } \cos (2\nu - 1) \pi \theta \\ s_n^3 & = s_n^3 (x, \theta) & = \sum\limits_{\nu \leqq n} e^{\nu^2 \pi i x } \cos 2\nu \pi \theta \\ s_n^4 & = s_n^4 (x, \theta) & = \sum\limits_{\nu \leqq n} (-1)^\nu e^{\nu^2 \pi i x } \cos 2\nu \pi \theta \end{matrix} \] mit reellen \(x, \theta\) und irrationalem \(x\). Man rechnet \(x\) zur Klasse \(k\), wenn die Nenner \(q_n\) der aus dem Kettenbruch für \( x\) hervorgehenden Näherungsbrüche einer Ungleichung \[ q_{n+1} < A \cdot q^k_n \] mit von n unabhängigem A genügen. Es gilt dann: I. Gehört \(x\) zur Klasse \(k\), so ist gleichmäßig in \(\theta\) \[ s_n = O(n^\alpha), \qquad \alpha = \frac{k}{k+1}. \] Dies ist z. B. der Fall wenn x eine algebraische Zahl darstellt. II. Es gibt zur Klasse \(k\) gehörige Zahlen \(x\), für welche bei geeignetem \(\theta\) \[ s_n \not = o(n^\alpha), \qquad \alpha = \frac{k}{k+1}. \] ist. \(s_n\) bezeichnet eine der drei Reihen \(s_n^2, s_n^3, s_n^4\).