Über die größte Kugel in einer konvexen Punktmenge. (Q5909174)

Es sei \(M\) eine konvexe Punktmenge in einem \(n\)-dimensionalen Raum. Es sei \(d\) der Durchmesser von \(M\), d. h. der größte Abstand irgend zweier Punkte der Menge; es sei \(b\) die Breite von \(M\), d. h. der kleinste Abstand zweier paralleler Stützgebilde; es seien ferner \(d_u\) und \(d_i\) die Durchmesser der Um- und Inkugel von \(M\), d. h. der kleinsten Kugel, in der \(M\) liegt, und der größten Kugel, die ganz in \(M\) liegt. Die vier Größen \(d\), \(b\), \(d_u\), \(d_i\), sind nicht unabhängig voneinander. Zunächst hat H.~W.~E.~Jung gezeigt -- auch für nicht konvexe Punktmengen --, daß \[ d\leqq d_u\leqq d\cdot\sqrt{\frac{2n}{n+1}} \] ist. (Über die kleinste Kugel, die eine räumliche Figur einschließt; J. für Math. 123, 241, F. d. M. 32, 296 (JFM 32.0296.*), 1901.) Dann hat W.~Blaschke bewiesen, daß für ebene konvexe Punktmengen \[ \frac23b\leqq d_i\leqq b. \] (Über den größten Kreis in einer konvexen Punktmenge; Deutsche Math.-Ver. 23, 369, F. d. M. 45, 622 (JFM 45.0622.*), 1914-15.) In der vorliegenden Arbeit wird bewiesen, daß \[ \begin{matrix}\l\qquad&\l\\ d_i\leqq b\leqq d_i\sqrt n&\text{für ungerades \(n\),}\\ \\ d_i\leqq b\leqq d_i\dfrac{n+1}{\sqrt{n+2}}&\text{für gerades \(n\).} \end{matrix} \]