Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders. (Q5909190)

In dieser Arbeit wird theoretisch und experimentell die Stabilität einer zähen Flüssigkeit untersucht, die zwischen zwei koaxialen rotierenden Zylinderwänden in der bekannten Weise stationär strömt. 1. Theoretischer Teil. Über das Geschwindigkeitsfeld der stationären Strömung wird ein Störungsfeld \(u\), \(v\), \(w\) gelagert; Quadrate und Doppelprodukte dieser Größen werden vernachlässigt. Es wird angesetzt \[ u=u_1\cos\lambda ze^{\sigma t},\quad v=v_1\cos\lambda ze^{\sigma t},\quad w=w_1\sin\lambda ze^{\sigma t}, \tag{1} \] wobei \(r\), \(z\) Zylinderkoordinaten sind und \(u_1\), \(v_1\), \(w_1\) Funktionen von \(r\) bedeuten. Diese werden nach denjenigen Zylinderfunktionen erster Ordnung entwickelt, die an der Innenwand \(r=R_1\) und der Außenwand \(r=R_2\) verschwinden. Dadurch werden die meisten Randbedingungen befriedigt. Aus den verbleibenden und den Bewegungsgleichungen für die zähe Flüssigkeit bestimmen sich die Entwicklungskoeffizienten, und es ergibt sich außerdem für die im Ansatz (1) auftretende Größe \(\sigma\) eine Bedingung \(\varDelta = 0\), wobei \(\varDelta\) eine unendliche Determinante bedeutet, die insbesondere noch abhängt von den Drehgeschwindigkeiten der Zylinder \(\varLambda_1\), \(\varLambda_2\) und der Wellenlänge \(2\pi/\lambda\) der Störung (1). Es wird als plausibel angenommen, daß diese Gleichung nur reelle Wurzeln habe. Bei gegebener Wellenlänge ergibt \(\sigma=0\) den Beginn der Instabilität. Praktisch ist allein derjenige Wert von \(\lambda\) von Belang, der bei allmählichem Anwachsen der Drehzahl zuerst auf \(\sigma=0\) führt. Trotz großer mathematischer Schwierigkeiten ist es dem Verf. gelungen, diese Rechnung wenigstens annäherungsweise bis zur numerischen Auswertung durchzuführen. Er erhält dadurch nicht nur die kritischen Drehzahlen, sondern auch Wellenlänge und Stromlinien der gestörten Strömung. Es zeigt sich, daß bei der axialsymmetrischen Störung (1) der Meridianschnitt in annähernd quadratische Zellen aufgeteilt wird, die bei gleichsinniger Drehung der Zylinder von der Innen- zur Außenwand reichen und die in der Richtung der Achse aneinandergelagert sind. In jeder Zelle zirkuliert die Flüssigkeit auch in der Meridianebene, und zwar wechselt der Umlaufssinn von Zelle zu Zelle, so daß die Strombilder wie Zahnräder gegeneinander laufen. Wenn die Zylinder sich im entgegengesetzten Sinn drehen, ändert sich das Strombild. Die entstehenden Wirbelringe füllen jetzt nicht mehr den ganzen Raum zwischen den Zylinderwänden aus, sondern nur eine Schicht, die von der Innenwand aus sich bis etwas über die Mitte hinaus erstreckt. Wieder sind die Querschnitte der Wirbelringe annähernd quadratische Zellen. An die Außenwand legt sich ein ähnliches System von Zellen an, jedoch ist die Zirkulation dort von viel geringerer Stärke und spielt praktisch keine Rolle. 2. Experimenteller Teil. Der Verf. beschreibt Apparat und Methode, zur Prüfung der errechneten Resultate, und publiziert Aufnahmen des Beobachteten. In schönster Übereinstimmung mit der Theorie stellt sich die erwartete Zellteilung ein, in einigen Bildern ist auch die Zirkulation in der Zelle sichtbar. Die berechneten Zelldimensionen werden durch die Beobachtungen bis zur Genauigkeit von 3--5\(\%\) bestätigt. Auch die kritischen Drehzahlen stimmen, wie Kurvenbilder zeigen, aufs schönste. Die Theorie und das Experiment ergeben immer Stabilität, wenn beide Zylinder gleichsinnig umlaufen, aber der äußere rascher (im Gegensatz zu früheren Experimenten von Mallock). Ferner zeigt sich, daß stets Stabilität vorhanden ist, wenn \(\varLambda_2R_2^2>\varLambda_1R_1^2\), ein Resultat, das Rayleigh für reibungslose Flüssigkeiten vorausgesehen hatte. Dagegen läßt sich Rayleighs zweite Aussage, daß gegensinniger Umlauf der Zylinder zu Labilität führe, nicht auf zähe Flüssigkeiten ausdehnen. Vielmehr zeigen Rechnung und Versuch übereinstimmend, daß in diesem Fall die Drehgeschwindigkeit des Innenzylinders, bei der Labilität eintritt, größer ist, als wenn der Außenzylinder ruhte. Der Schluß der Arbeit enthält Angaben über das Auftreten unsymmetrischer Störungsformen, spiralförmiger Wirbel, die bei den Versuchen gelegentlich beobachtet wurden.