On the relations among the class numbers of binary quadratic forms of negative determinant (Q5909207)

\(F (N)\) ist die Anzahl der Klassen von (primitiven und imprimitiven) Formen \(ax^2- 2bxy + cy^2,\) für die \(b^2 - ac = - N < 0,\) und in denen \(a\) und \(b\) nicht beide gerade sind. \(F_1(N)\) ist die entsprechende Zahl, wenn \(a\) und \(b\) beide gerade sind. Gefragt wird nach \(\sum_\sigma F(n-\sigma^2)\) und \(\sum_\delta F_1(n-\sigma^2),\) wobei \(n\) fest, \(\sigma \equiv \sigma_0 (\mod 5)\), \(n-\sigma^2>0.\) Ausgehend von Ergebnissen von Hermite, Petr und Humbert gelangt der Verf. durch Verwendung von \(\Theta\)- Transformationen zu einem Formelsystem, in dem die genannten Summen als lineare Funktionen elementarer zahlentheoretischer Funktionen (d. h. Funktionen, die sich aus der Primteilerzerlegung rational berechnen lassen) und gewisser \(\mathfrak R_i\) dargestellt werden. Dabei bedeutet \(\mathfrak R_i\) die Anzahl der Darstellungen von \(n\) als Summe von vier Quadraten, von denen genau \(i\) durch 5 teilbar sind. Es wird gezeigt, wie diese Formeln mit Resultaten von Kronecker und Gierster in Einklang zu bringen sind. -- Im Zusammenhang mit diesen Untersuchungen werden Beziehungen zwischen den Anzahlen der Darstellungen von \(n\) durch gewisse quaternäre quadratische Formen ermittelt. In einem Nachtrag wird der Satz bewiesen: ``Quadratische Reste (mod 5) werden von ebensovielen Formenklassen der Det. \(- 5\Delta [< 0]\) dargestellt, wie quadratische Nichtreste.''