Ein Satz über Dirichletsche Reihen. (Q5909243)

Werden zu \(Z(s) =\sum_{n =1}^\infty a_n n^{-s}\) die Partialreihen modulo \(q\) durch \(Z(s, q, r) = \sum_{n\equiv r(\text{mod. }q)} a_nn^{-s}\) definiert und ist \(Z(s) = Z_1(s) Z_2(s) \dots Z_k(s),\) so sind die \(Z(s, q, r)\) Polynome in den \(Z_j(s, q, r);\) zu diesem naheliegenden und in Einzelfällen oft benutzten Ergebnis samt dem Wert der Polynomkoeffizienten kommt man leicht durch Koeffizientenvergleichung. Mellin erlangt es wesentlich umständlicher mit Hilfe der Formel \[ e^{-x} = \frac {1}{2\pi i}\int_{a -i\infty}^{a +i\infty} \Gamma(z) x^{-z} dz \;(a>0, \;{\mathfrak R} x>0). \] Diese gestattet ihm dann u. a., in manchen Fällen für Funktionen \(\sum_{n =1}^\infty a_n e^{-n^\kappa x}(\kappa \geqq 1\) ganz) mit der Konvergenzabszisse \(\sigma_0\) asymptotische Entwicklungen bei \(x \to \sigma_0 + \frac pq \pi i\) anzugeben. Das gelingt, wenn die Partialreihen von \(Z(s) =\sum_{n =1}^\infty a_n n^{-s}\) in der ganzen Ebene meromorph, mit nur endlich vielen Polen in jedem Streifen \(\alpha \leqq \sigma \beta,\) und von endlicher Ordnung sind, also z. B. für \(\sum_{n =1}^\infty a_n n^{-s} =\zeta (\kappa_1 s + c_1) \dots \zeta (\kappa_k s+ c_k).\)