Sopra una classe di funzioni che comprendono come caso particolare le funzioni cilindriche. (Q5909257)

Als Verallgemeinerung der Besselschen Differentialgleichung betrachtet Verf. die Gleichung \[ \sum_{\alpha =1}^{k +1} A_{\alpha, k} x^{k-\alpha +1}y^{(k- \alpha-1)} +x^ky =0, \] sei der Koeffizient \(A_{\alpha,k}\) ein gewisses Polynom \((\alpha -1)\)-ten Grades eines Parameters \(\nu\) ist, welches so gewählt wird, daß\ die charakteristische Gleichung die Wurzeln \[ \nu, \nu (1-k), \nu (1-2k), \dots, \nu (1-(k-1)k) \] habe. Verf. gewinnt ein Integral in der Form \(L_{\nu,k}(x),\) wobei \(x^{-\nu}L_{\nu, k}(x)\) ganz ist; \(L_{\nu k} (x)\) geht für \(k = 2\) in \(J_\nu (x)\) über. Für \(\nu = 0\) wird auch ein zweites, linear unabhängiges Integral in der Form \(L_{0, k} (x) \log x + M (x)\) bestimmt, wo \((x)\) eine ganze Funktion ist, welche im Falle \(k = 2\) in die Neumannsche Funktion \(Y_0\) übergeht. Ferner führt der Verf. die Verallgemeinerungen \(H_{n, k} (x)\) der Neumannschen Zylinderfunktionen ein, für welche (die Konstanten \(\alpha_n\) sind send zu wählen) \[ \sum_{n =0}^\infty\alpha_nH_{n,k}(y)L_{n,k}(x) = \frac {1}{y-x} \] gilt, wenn nur \(| x| < | y|\) ist und zwar gleichmäßig bei festem \(y\) für \(| x| \leqq R < | y|.\) Diese Formel ermöglicht wie gewöhnlich die Entwicklung einer analytischen Funktion nach den \(H_{n,k}\) bezw. \(L_{n,k}.\) Außerdem werden mit Hilfe der eingeführten Funktionen die Differentialgleichungen \[ \frac {\partial^k u}{\partial x_1\partial x_2\dots \partial x_k} =\lambda(x_1, x_2, \dots, x_k), \] \[ \frac {\partial^k u}{\partial x_1\partial x_2\dots \partial x_k} + u=\lambda(x_1, x_2, \dots, x_k), \] ferner die Gleichung \[ \sum_{i =0}^p a_{p-i} \frac {\partial^{ki}u}{\partial x_1^i x_2^i\dots \partial x_k^i} =K(x_1, x_2,\dots,x_k) \] \((a_0, a_1, \dots,a_p\) konstant) integriert. Schließlich stellt der Verf. für die Differentialgleichung zweiter Ordnung \[ \sum_{i =0}^p \left(\frac {\partial^2u}{\partial x_i^2} - \frac{p -2}{p} \frac {1}{x_i-\alpha_i}\frac {\partial u}{\partial x_i}\right) +k^2\left(r^{2k-2}- \frac{n^2}{r^2}\right)u =0 \] \[ \left(r =\sqrt{(x_1-\alpha_1)^2 +(x_2-\alpha_2)^2 +\cdots +(x_n- \alpha_n)^2}\right) \] das allgemeine Integral auf, eine Gleichung, die für \(k = 1, n = 0, p = 2\) von C. Neumann, für \(k =1, p = 2, n\) beliebig, von Nielsen betrachtet wurde. Eine Darstellung von \(L_{n,k}(x)\) durch \(L_{0,k}(x)\) schließt die Arbeit.