Über eine Klasse singulärer Integralgleichungen. (Q5909263)

Bekanntlich brauchen bei Integralgleichungen zweiter Art mit stark unendlichem Kerne die Sätze der Fredholmschen Auflösungstheorie nicht mehr zu gelten. Eine Integralgleichung dieses Typus \[ (1) \quad K(\varphi)\equiv a(s) \varphi(s) +\int_{-\pi}^{ +\pi} K(s,t) \varphi(t)dt =f(s), \text{ wo} \] \[ K(s,t) = \frac{b(s)}{2\pi}\text{ctg} \frac{t-s}{2} +A(s,t) \] ist \(a, b, A\) hinreichend stetige und periodische Funktionen sind, und unter dem Integral stets der Cauchysche Hauptwert verstanden ist, wird hier ausfürlich untersucht. Nach dem Vorgang von Hilbert (Verhandl. d. 3. Math. Kongr. Heidelberg, F. d. M. 36, 438 (JFM 36.0438.*); 1905) wird sie durch Zusammensetzung mit der zu einem analog gebauten Kern \[ K^*(s, t) =- \frac{b(s)}{2\pi}\text{ctg} \frac{t-s}{2} +A^* (s,t) \] gehörigen Integraloperation \(K^*(\varphi)\) zurückgeführt auf eine Integraleichung \[ K^*(K(\varphi)) =\equiv (a(s)^2 +b(s)^2)\varphi(s) +\int_{- \pi}^{ +\pi} L(s,t)\varphi(t)dt =K^*(f), \] deren Kern \(L(s, t)\) sich als quadratisch integrabel erweist, und für die daher die Fredholmschen Sätze gelten. Die vollständige Diskussion der Beziehung dieser Gleichungen ergibt: 1. notwendig und hinreichend für die Lösbarkeit von (1) ist, daß\ \(f (s)\) orthogonal zu sämtlichen Lösungen der zum transponierten Kerne \(K(t, s)\) gehörigen homogenen Gleichung \(\overline K(\varphi) = 0\) ist. 2. Die Differenz der Anzahlen der linear unabhängigen Lösungen von \(K(\varphi) = 0\) und \(\overline K(\varphi) = 0\) ist allein von den Funktionen \(a(s), b(s)\) abhängig, und zwar gleich \[ \frac {1}{i\pi} \int_{-\pi}^{ +\pi}d[\log (a(s)-ib(s))]. \] Die Sätze werden auch auf gewisse sprunghaft unstetige Funktionen ausgedehnt und die Anwendung auf die Bestimmung einer der Randbedingung \[ -a(s)\frac {\partial u}{\partial n} +b(s) \frac {\partial u}{\partial s} =\pi f(s) \] genügenden Potentialfunktion \(u(x, y)\) skizziert. (IV 13.)