Sur les singularités irrégulières des équations différentielles linéaires. (Q5909271)

Verf. dehnt die Ergebnisse der früheren Noten (C. R. 164, 265, 1917; 166, 103, 602, 1918) auf Differentialgleichungen beliebiger Ordnung \[ (\overline{\text E})\quad y^{(m)} +\sum_{j =1}^m A_j y^{(m-j)} =0 \] aus, wobei die Funktionen \(A_jx^{j(n-1)} (j =1, 2, \dots, m)\) im Unendlichen regulär sind. \((\overline E)\) wird ersetzt durch \[ (\text{E})\quad (1-\varepsilon^nx^n)^m y^{(m)} +\sum_{j =1}^m (1-\varepsilon^n x^n)^{m-j} A_j y^{(m-j)} =0\;(\varepsilon \neq 0). \] Hierbei besitzt (E) die \(n +1\) singulären Stellen der Bestimmtheit: \(x_0 = \infty\) und \(x_h = \varepsilon^{-1} e{ \frac {2\pi ih}{n}}(h =1, 2, \dots, n).\) Die wichtigsten Eigenschaften der Integrale von \((\overline E)\), wie z. B. die Existenz kanonischer Integrale, Invarianten der Monodromiegruppe usw., werden aus den entsprechenden Eigenschaften der Integrale von (E) durch Grenzübergang \(\varepsilon \to 0\) gewonnen. In der zweiten Note wird eine Einschränkung, betreffend die Verschiedenheit der Wurzeln der ``charakteristischen Gleichung'' aufgehoben, wodurch an Allgemeinheit und Einfacheit gewonnen wird. Es werden auch weitere Anwendungen gegeben.