Sur le calcul aux différences finies. (Q5909278)

Bezüglich der Differenzengleichung \[ \Delta_\omega F(x) = \frac{f(x +\omega)- F(x)}{\omega} =\varphi(x), \] \(\omega > 0, \varphi (x)\) gegeben, werden in den vorliegenden Noten Untersuchungen angestellt analog den zuvor besprochenen für eine andere verwandte Funktionalgleichung. Eine ``Hauptlösung'' wird, unter derselben speziellen Voraussetzung wie dort, in der Form \[ F(x \mid\omega) = \lim_{\eta\to 0}\left\{\int_a^\infty \varphi(z)e^{-\eta z} dz-\omega \sum_{s =0}^\infty \varphi(x +s\omega)e^{-\eta(x +sw)}\right\} \] dargestellt, ferner auch durch die Bernoullischen Polynome \(B_\nu(z\mid\omega)\) (vgl. das Referat auf S. 216), die hier überhaupt an Stelle der Eulerschen treten Auch die anderen dort gegebenen Darstellungen sowie verschiedene Eigenschaften der Lösung (ihre Abhängigkeit von \(\omega\) usw.) finden hier ihr Analogon.