Über eine Erweiterung des Stieltjesschen Momentenproblems. (Q5909279)

Das Momentenproblem von Stieltjes besteht in Folgendem: Sei \(c_0, c_1, c_2, \dots \) eine Folge reeller Zahlen; dann wird eine monoton wachsende Funktion \(\varphi (u)\) mit unendlich vielen Wachstumsstellen gesucht derart, daß\ \[ (1) \quad \int_0^\infty u^\nu d\varphi (u) = c_\nu \;(v = 0,1, 2, \dots) \] ist. Der Verf. rekapituliert die bekannten Resultate von Stieltjes über die Lösbarkeit und Bestimmtheit des Probleme und formuliert dann das erweiterte Momentenproblem, indem er an Stelle von (1) die Beziehungen \[ (2) \quad \int_{-\infty}^\infty u^\nu d\varphi (u) = c_\nu \;(v = 0,1, 2, \dots) \] fordert. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Lösbarkeit des erweiterten Problems steht darin, daß\ die Determinanten \[ C_m = \left|\begin{matrix} c_0&c_1 &\dots & c_{m-1}\\ c_1&c_2&\dots &c_m\\ \ldots\\ c_{m-1}&c_m&\dots &c_{2m-2} \end{matrix} \right| \;(m =1,2,3,\dots) \] sämtlich positiv sind; das läuft darauf hinaus, daß\ der mit der Reihe \[ (3)\quad \frac{c_0}z- \frac{c_1}{z^2} + \frac{c_2}{z^3}- \frac{c_3}{z^4} +-\cdots \] assoziierte Kettenbruch \[ (4)\quad \frac{k_1\mid}{\mid z +l_1} +\frac{k_2\mid}{\mid z +l_2} +\frac{k_3\mid}{\mid z +l_3} +\cdots \] existiert, und daß\ \(k_1 > 0,\) aber \(k_\nu < 0\) für \(\nu \geqq 2\) ist, während die \(l_\nu\) beliebige welle Zahlen sein können. Verf. untersucht weiter, wann das erweiterte Momentenproblem bestimmt ist, d. h. nur eine Lösung hat, und gibt verschiedene Formen für die notwendigen und hinreichenden Bedingungen an. Bezeichnet man den Näherungszähler und -Nenner \(n\)-ter Ordnung des Kettenbruchs (4) mit \(U_n(z)\) und \(V_n(s),\) so wird der Kettenbruch \textit{vollständig konvergent} genannt, wenn der Quotient \[ \frac {U_n(z) +tU_{n-1}(z)}{V_n(z) +tV_{n-1}(z)} =\frac{k_1\mid}{\mid z +l_1} +\cdots + \frac{k_{n-1}\mid}{\mid z +l_{n-1}} + \frac{k_n\mid}{\mid z +l_n +t} \] für \(n \to \infty\) gegen einen von \(t\) unabhängigen Grenzwert konvergiert, und zur Gleichmäßig für alle reellen \(t\) und für jeden beschränkten abgeschlossenen Bereich der \(z\)-Ebene, der keinen Punkt der reellen Achse enthält. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Bestimmtheit des Momentenproblems ist dann die vollständige Konvergenz des Kettenbruches (4). Eine weitere, ebenfalls notwendige und hinreichende Bedingung besteht darin, daß\ von den beiden Reihen \[ (5) \quad \sum_{\nu =0}^\infty \frac{V_\nu^2 (0)}{\Delta_\nu},\;\sum_{\nu =1}^\infty \frac{U_\nu^2(0)}{\Delta_\nu}, \] wo \(\Delta_\nu = (-1)^\nu k_1k_2\dots k_{\nu +1},\) mindestens eine divergiert. Wenn für \(m \geqq 1\) durchweg \[ B_m\equiv \left|\begin{matrix} c_1&c_2&\dots &c_m\\ c_2&c_3&\dots &c_{m +1}\\ \ldots\\ c_m&c_{m +1}&\dots &c_{2m-1} \end{matrix}\right|\neq 0, \] so existiert auch der mit der Reihe (3) korrespondierende Kettenbruch \[ (6)\quad \frac{1\mid}{\mid a_1z} +\frac{1\mid}{\mid a_2} +\frac{1\mid}{\mid a_3} +\frac{1\mid}{\mid a_4} +\cdots, \] und die \(a\) mit ungeradem Index sind positiv. Alsdann können die beiden Reihen (5) durch die einfacheren \[ (7) \quad \sum_{\nu =0}^\infty a_{2\nu +1},\sum_{\nu =1}^\infty a_{2\nu +1}(a_2 +a_4 +\cdots +a_{2\nu})^2 \] ersetzt werden. Wenn die Determinanten \(B_m\) alle positiv auch, so sind auch die \(a\) mit geradem Index positiv, so daß\ der Kettenbruch (6) ein Stieltjesscher ist und auch das Stieltjessche Momentenproblem lösbar ist. Bemerkenswert ist dann der Fall, daß\ die Reihen (7) beide konvergieren, während \(\sum a_{2\nu}\) divergiert; dann ist nämlich das Stieltjessche Momentenproblem bestimmt, während das erweiterte unbestimmt ist. (IV 4.)