Sur la régularisation du problème des trois corps. (Q5909348)

Der Verf. hat hier in einer sehr gut lesbaren Arbeit seine fundamentalen Resultate über das in Rede stehende Problem zusammengefaßt. Nachdem gezeigt worden ist, daß im Falle einer von Null verschiedenen Konstante des Flächensatzes nur ein einfacher Stoß möglich ist (Theorem von Sundman), wird die Untersuchung auf diesen Fall beschränkt. Findet ein solcher Stoß zur Zeit \(t_1\) statt, so bleiben \(U=\int \frac {dt}{r},\) also auch \(\tau =\int Udt\) bei \(t\to t_1\) endlich. Faßt man alle Bewegungen mit eine bestimmten Wert \(E\) der Energie zusammen, gehören alle diese zu einem kanonischen System mit der unabhängigen Variabeln \(\tau\) und der Energiefunktion \(F = \frac 1U (H- E),\) wo \(H\) die Gesamtenergie des Systems, \(U\) die potentielle Energie bedeutet. Wählt man nun einen der beiden zusammenstoßenden Punkte als Bezugspunkt, führt dann für die sechs Koordinaten und Impulse des anderen sechs neue kanonische Variable \(\xi_i, \omega_i\) ein, die durch die Betrachtung der parabolischen Bewegung des Punktes um einen festen Punkt nahegelegt werden, so sind auch in der Umgebung von \(t =t_1\) die \(\xi_i, \omega_i,\) sowie die sechs Koordinaten und Impulse des nicht am Stoß\ beteiligten Körpers reguläre Funktionen von \(\tau.\) Infolgedessen sind die Koordinaten der drei Körper, ihre gegenseitigen Entfernungen und auch die Zeit \(t\) reguläre Funktionen des reellen Parameters \(\tau;\) doch ist die Beziehung zu den reellen Werten der Zeit zweieindeutig. Aus den Überlegungen folgt, daß es auch möglich sein muß, für den ganzen Verlauf der Bewegung, also auch in dem Falle wiederholter Zusammenstöße von je zweien der drei Körper regularisierende Variable einzuführen. Die Beziehung der \(x_i, p_i\) zu den \(\xi_i, \omega_i\) ist diese: \[ \omega_i =-\frac {\partial W}{\partial \xi_i};\;p_i =\frac {\partial W}{\partial x_i}, \] mit \[ W =\sqrt 2\sqrt{\xi r-\sum \xi_i x_i},\;\text{wo }\xi =\sqrt{\sum \xi_i^2}, \;r =\sqrt{\sum x_i^2}. \]