Sul calcolo approssimato degli integrali definiti. (Q5909363)

Verf. betrachtet eine sehr allgemeine Näherungsformel für \(\int_a^b f(x) dx,\) die aus der Riemannschen Summe \[ \sum_{k =1}^n \delta_k y_k \] (\(\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n\) sind Teilintervalle von \([a, b],\) die daraus durch Unterteilung hervorgehen, \(y_k\) ist ein Mittelwert von \(f (x)\) in \(\delta_k\)) folgendermaßen entstehen: Es seien \(\alpha_1,\alpha_2, \dots \alpha_{i-1}\) wachsende positive echte Brüche, \(\alpha_i =1,\) und das allgemeine Glied der obigen Summe sei ersetzt durch \[ \delta_k \frac{r_0 f(\alpha) +r_1f(\alpha +\alpha_1 \delta_k) +\cdots +r_i f(\alpha +\alpha_i \delta_k)}{r_0 +r_1 +\cdots +r_i}, \] wobei \(\alpha\) den linken Endpunkt von \(\delta_k\) bezeichnet. Bei gegebenen \(\alpha_1, \dots, \alpha_i\) können die Zahlen \(r_0, r_1, \dots, r_i\) so bestimmt werden, daß\ die Abweichung dieses Ausdruckes von \[ \int_{\delta_k}f(x)dx \] von möglichst hoher Größenordnung in \(\delta_k\) ausfällt. (Im allgemeinen ist auch eine Änderung von \(i,\) bzw. \(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_i\) mit den einzelnen Teilintervallen zulässig.) Es wird dann der Fehler abgeschätzt und schließlich gezeigt, wie durch Spezialisierung der \(a_1, \alpha_2, \dots, \alpha\) die bekannten Quadraturformeln herauskommen. Die Arbeit ist in dem Nachlaß\ des jüngst verstorbenen Verf. aufgefunden worden.