Leçons sur l'approximation des fonctions d'une variable réelle. (Q5909364)

Die Ausführungen dieser durch Inhalt und Darstellung in gleicher Weise hervorragenden Schrift fassen die Ergebnisse einer Reihe von inzwischen sehr bekannt gewordenen Abhandlungen des Verf. und von D. Jackson und S. Bernstein zusammen, deren Titel wir hier angeben. Ch. J. de la Vallée Poussin. 1. Sur les polynomes d'approximation et la représentation approchée d'un angle. Belg. Bull. Sciences 1910 (F. d. M. 41, 296 (JFM 41.0296.*)). 2. L'approximation des fonctions d'une variable réelle. Ens. math. 20 (F. d. M. 46, 416 (JFM 46.0416.*), 1916-18). 3. C. R. 166, 799 (F. d. M. 46, 416 (JFM 46.0416.*), 1916-18). 4. C. R. 166, 843 (F. d. M. 46, 460 (JFM 46.0460.*), 1916-18). D. Jackson. 1. Diss. Göttingen 1911 (F. d. M. 42, 434 (JFM 42.0434.*), 1911). 2. On approximation by trigonometric sums and polynomials. American M. S. Trans. 13, 491 (F. d. M. 43; 499, 1912). S. Bernstein. 1. Sur l'ordre de la meilleure approximation des fonctions continues. Belg. Mém. IV (F. d. M. 43, 493 (JFM 43.0493.*), 1912). 2. Sur la meilleure approximation de \(| x|\) par des polynomes de degrés donnés. Acta math. 37, 1 (F. d. M. 44, 475 (JFM 44.0475.*), 1913). 3. Sur la valeur de la meilleure approximation des fonctions analytiques admettant des singularités données. Belg. Bull. Sciences 1913 (F. d. M. 43, 494 (JFM 43.0494.*), 44, 475). Diese Arbeiten werden im folgenden mit V. P.1. 2. 3. 4., J. 1. 2., B. 1. 2. 3 zitiert. Der Verf. begnügt sich aber nicht mit einer einfachen Wiedergabe der in den genannten Abhandlungen enthaltenden Sätze und Beweise, sondern es gelingt ihm, die Ergebnisse erheblich zu verbessern und abzurunden und vor allem die Beweise ganz wesentlich zu vereinfachen, so daß\ man das vorliegende Buch als eine abschließende Darstellung der in ihm behandelten Probleme aus der Theorie der Approximation stetiger reeller Funktion anzusehen berechtigt ist. Der erste umfangreichere Teil (Kapitel I bis VII) bezieht sich auf das in letzter Zeit am meisten geförderte Problem dieser Theorie, nämlich die Größen Ordnung der bestmöglichen Approximation einer stetigen reellen Funktion \(f (x)\) durch trigonometrische oder rationale Polynome aus den Stetigkeits- und Differentationseigenschaften von \(f (x),\) oder umgekehrt, diese Eigenschaften aus der Größenordnung der Approximation zu bestimmen. Nachdem Verf. in der Einleitung den Lebesgueschen Beweis (F. d. M. 29, 352 (JFM 29.0352.*)) für den Weierstraßschen Satz über die Approximation einer stetigen Funktion durch Polynome und seinen dem Lebesgueschen nachgebildeten Beweis für die Approximation durch trigonometrische Polynome (V. P. 2.) auseinandergesetzt hat, werden im Kapitel I zunächst elementare Sätze über Fourierreihen bewiesen, u. a. Sätze über die Größenordnung der Fourierkonstanten, ferner die Dini-Lipschitzschen Konvergenzkriterien für Fourierreihen und die zugehörigen konjugierten trigonometrischen Reihen. Außerdem wird, indem der Verf. Ergebnisse von Bernstein (B. 1.) verbessert und vereinfacht, für die Größenordnung der Approximation einer periodischen stetigen Funktion \(f (x)\) durch Fouriersche Polynome eine obere Schranke gewonnen, die nur von den Differentiations- und Stetigkeitseigenschaften von \(f (x)\) abhängt. Hervorgehoben sei noch eine Regel von Lebesgue (entnommen seiner Abhandlung: Sur les intégrales singulières, Toulouse Ann. 1910, vgl. F. d. M. 41, 327 (JFM 41.0327.*)), nach der die beste Approximation \(\varrho_n\) von \(f (x)\) durch trigonometrische Polynome \[ \varrho_n \geqq \frac {\varphi (n)}{A\log n+B} \] ist wo \(A\) und \(B\) feste, von \(f (x)\) unabhängige Größen und \(\varphi (n)\) die Approximation von \(f (x)\) durch die \(n\)-te Partialsumme seiner Fourierschen Reihe bedeutet. In Kapitel II, das eine Untersuchung über die Approximation durch ``Fejérsche Summen'', d. i. arithmetische Mittel dieser Partialsummen enthält, wird erst ein Bernsteinscher Satz (B. 1.) über die Größenordnung dieser Approximation, dann ein Satz vom Verf. (V. P. 3.) bewiesen, der, die Lebesguesche Regel verallgemeinernd, aus der Approximation durch Fejérsche Summen eine untere Schranke für die beste Approximation durch trigonometrische Polynome angibt. Es folgen einfache Beweise der Bernsteinschen Sätze über die beste Approximation von \(| sin x|\) (B. 1. 2.), Sätze, die dadurch von Interesse sind, daß\ die Untersuchungen über die beste Approximation von \(| sin x|\) durch trigonometrische Polynome bzw. von \(| x|\) durch gewöhnliche Polynome der Ausgangspunkt der ganzen Theorie gewesen sind. Der Schluß\ des Kapitels enthält einen Beweis vom Verf. (V.P. 4.) eines bekannten Lemmas von Bernstein (B.1.), das eine obere Schranke für die Ableitung eines trigonometrischen Polynomes angibt. In Kapitel III werden anders geartete trigonometrische Polynome eingeführt (vgl. J. 1.), die, indem sie die Funktion \(f (x)\) wesentlich besser als die Fourierschen und Fejérschen Polynome approximieren; zu den Jacksonschen Ergebnissen über eine nur von den Differentiations- und Stetigkeitseigenschaften von \(f (x)\) abhängige obere Schranke der Approximation führen. Andererseits wird in Kapitel IV, wo Bernsteinsche Sätze (B. 1.) in vereinfachter Form bewiesen werden, gezeigt, daß\ umgekehrt die Größenordnung der Approximation von \(f (x)\) durch ein beliebiges trigonometrisches Polynom Schlüsse auf die Differentiations- und Stetigkeitseigenschaften von \(f (x)\) zuläßt, derart, daß\ die in Kapitel III gefundene Größenordnung der Approximation gleichzeitig notwendige und hinreichende Bedingungen für gewisse Difterentiations- und Stetigkeitseigenschaften einer Funktion liefert. In Kapitel V führt der Verf. die Approximation einer stetigen Funktion im Intervall \(a \leqq x \leqq b\) durch rationale Polynome auf die Approximation durch trigonometrische Polynome zurück und beweist für die Approximation durch rationale Polynome die den Ergebnissen von Kapitel III und IV entsprechenden Sätze (J.1. 2., B.1.). In Kapitel VI wird auf eine Tschebyscheffsche Fragestellung eingegangen, die bereits in einer Göttinger Dissertation (1902) von Kirchberger zu wichtigen Resultaten geführt hat. Es wird nämlich die Existenz eines und nur eines rationalen Polynomes \(P(x)\) vom Grade \(\leqq n\) bewiesen, das im Intervall \(a \leqq x \leqq b\) für \(f (x)\) die beste Approximation liefert, ferner werden die wichtigsten Eigenschaften von \(P(x)\) angegeben (vgl. V. P.1.), z. B. daß\ \(| f -P|\) im Intervall: \(a \leqq x \leqq b\) mindestens \(n + 2\)-mal sein absolutes Maximum erreicht, wobei \(f - P\) im gleichen Intervall mindestens \(n +1\)-mal sein Vorzeichen wechselt. Aus dieser charakteristischen Eigenschaft des Polynoms bester Approximation werden verschiedene Näherungsverfahren zu seiner Konstruktion hergeleitet. Zum Schluß\ wird ein Satz von Bernstein (B.1.) angegeben, der, wenn \(\varphi (x)\) und \(\psi(x)\) analytische Funktionen bedeuten, ferner \(f (x, \lambda) =\lambda \varphi (x) + (1- \lambda) \psi(x)\) gesetzt wird, die Abhängigkeit der besten Approximation von \(f (x, \lambda)\) vom Parameter \(\lambda\) untersucht. Die Ergebnisse von Kapitel VI werden in Kapitel VII auf das Problem der bestmöglichen Approximation einer periodischen stetigen Funktion durch trigonometrische Polynome übertragen. Zum Schluß\ wird noch eine neue untere Schranke für die beste Approximation gewonnen, die von den Fourrierkonstanten von \(f (x)\) abhängt (vgl. B. 1.). Die letzten drei Kapitel sind der Approximation analytischer periodischer Funktionen \(f (x)\) gewidmet, die auch noch im Innern eines die reelle \(x\)-Achse umgebenden Streifens \(- b \leqq y \leqq + b\) analytisch sind, und zwar behandelt Kapitel VIII den Fall, daß\ die analytische Funktion auf dem Rande des Streifens nur Pole von höchstens \(r\)-ter Ordnung hat, während in Kapitel IX \(f (z)\) in der Umgebung eines Randpunktes \(z\) von der Gestalt \(f (z) = \frac {\varphi (z)}{(z-z_0)^s}\) ist, wobei \(\varphi (z)\) eine im Punkte \(z_0\) reguläre analytische Funktion, \(s\) eine beliebige reelle Zahl; \(\neq 0, -1, - 2, - 3, \dots,\) usw. bedeutet. In beiden Fällen wird eine obere; Schranke für die Approximation der Fourierpolynome und eine untere Schranke für die beste Approximation durch beliebige trigonometrische Polynomegewonnen, die beide in der Größenordnung übereinstimmen und nur vor der Ordnung \(r\) des Poles (bzw. der Ordnung \(s\) der Verzweigungsstelle) abhängen. In Kapitel X endlich wird der Fall der ganzen periodischen Funktion untersucht. Hier hängt die Größenordnung der Approximation von dem Wachstum der ganzen Funktion ab. Vgl. gewisse Sätze von Bernstein (B. 3.) über die Approximation analytischer Funktionen durch gewöhnliche Polynome.