Solution élémentaire du problème de l'inversion des fonctions elliptiques. (Q5909373)

Das Problem wird so gestellt: Gegeben \(g_2, g_3,g_2^3-27g_3^2\neq 0;\) man bestimmte \(2\omega_1, 2\omega_2,\) so daß\ \(\wp(u; 2\omega_1, 2\omega_2)\) die Invarianten \(g_2\) und \(g_3\) aufweist. Es wird \[ R(z) =\wp \left\{ \int_1^z \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(z^2- \lambda^2)}};\;2\omega_1, 2\omega_2\right\} \] betrachtet; \(R(z)\) besitzt in der \(z\)-Ebene nur Pole, und es ist zu beweisen, daß\ es linear in \(z\) ist; die Durchführung für kleine \(\lambda\) genügt, indem man durch die Landensche Transformation stets auf diesen Fall zurückgehen kann: Der Beweis erfolgt dann unter Benutzung hypergeometrischer Reihen und der zugehörigen Integrale; es wird im wesentlichen \[ \begin{aligned} \omega_1& =\pi i F( \frac 12, \frac 12, 1; \lambda^2);\\ K'& =- \frac {2K}\pi \log k- \frac 4\pi \int_0^K \log \text{ sn } u du\end{aligned} \] abgeleitet; die letztere Formel wird zur Aufstellung einer recht interessanten Reihe für \(\omega_2\) benutzt.