Sur les singularités irrégulières des équations différentielles linéaires. (Q5909376)

Für die lineare Differentialgleichung \[ (1) \quad (1 + \varepsilon x) y' - y = 0 \] mit dem allgemeinen Integral \[ (2) \quad y =A(1 +\varepsilon x)^{ \frac 1\varepsilon } \] sind die beiden Stellen \(\varepsilon^{-1}\) und \(\infty\) singuläre Stellen der Bestimmtheit. Läßt man \(\varepsilon\) nach Null wandern, so geht die Differentialgleichung formal über in die Gleichung \[ (3)\quad y'-y=0, \] für welche \(\infty\) eine Unbestimmtheitsstelle vom Rang 1 ist. Gleichzeitig geht das Integral (2) über in \(Ae^x,\) was wirklich das allgemeine Integral von (3) ist. Von dieser einfachen Bemerkung ausgehend sucht Garnier eine singuläre Stelle der. Unbestimmtheit aufzufassen als eine Vereinigung von mehreren zusammengefallenen Stellen der Bestimmtheit. Sei \[ (4) \quad y^{(m)} +x^{n-1} {\mathfrak P}_1 \left( \frac 1x\right) y^{(m-1)} +x^{2n-2} {\mathfrak P}_2\left( \frac 1x\right) y^{(m-2)} +\cdots +x^{m(n-1)} {\mathfrak P}_m \left( \frac 1x\right) y = \] eine lineare homogene Differentialgleichung, für die \(x = \infty\) eine Unbestimmtheitsstelle vom Rang \(n\) ist. Die Potenzreihen \({\mathfrak B}_\nu \left( \frac 1x\right)\) sollen dabei für \(| x|\geqq r\) konvergent sein, so daß\ für \(| x|> r\) keine weiteren singulären Stellen vorhanden sind. Betrachtet man daneben die Differentialgleichung \[ (5)\quad y^{(m)} + \frac{x^{n-1} {\mathfrak P}_1 \left( \frac 1x\right)}{1-\varepsilon^n x^n} y^{(m-1)} +\cdots + \frac{x^{m(n- 1)}{\mathfrak P}_m \left( \frac 1x\right)}{(1-\varepsilon^n x^n)^m} y =0, \] wobei \(| \varepsilon|< \frac 1r\) sein soll, so hat diese für \(| x|> r\) die \(n + 1\) singulären Stellen \[ (6) \quad \infty \text{ und } \frac 1\varepsilon e^{ \frac {2\nu \pi i}{n}}\;(\nu =0,1,\dots, n-1); \] und zwar sind das lauter Stellen der Bestimmtheit. Läßt man \(\varepsilon\) nach Null konvergieren, so geht die Differentialgleichung (5) formal in (4) über, und Garnier zeigt, daß\ auch ihre Integrale in die Integrale von (4) übergehen. Zu dem Zweck benutzt er zur Berechnung der Integrale von (5) die Methode sukzessiver Näherungen in einer seit jeher von Horn bei ähnlichen Fragen angewandten Gestalt. Während aber bei Horn nur geradlinige Integrationswege auftreten, müssen diese Wege hier allgemeinen die singulären Punkte in Spiralen umlaufen für welche der betreffende singuläre Punkt asymptotischer Punkt ist. Beschränkt man \(x\) auf das Ringgebiet \(r < | x| < R,\) wo \(R\) beliebig groß, und denkt von vorn herein \(| \varepsilon|< \frac 1R,\) so führen die zulässigen. Integrationswege aus der Umgebung eines geeignet zu wählenden der singulären Punkte (6) heraus und in das Ringgebiet hinein, und zwar kann man den Teil des Weges, der im Ringgebiet verläuft unabhängig von \(\varepsilon\) wählen, wodurch der Grenzübergang \(\varepsilon \to 0\) ermöglicht wird. Das Ringgebiet zerfällt so in verschiedene krummlinig begrenzte Sektoren, die teilweise übereinander greifen; in jedem Sektor erhält man ein Integralsystem der Gleichung (5), welches dann für \(\varepsilon \to 0\) in ein Integralsystem von (4) übergeht. Wo zwei Sektoren übereinandergreifen, müssen die Integrale von (5), die zum einen Sektor gehören, sich linear ausdrücken durch die Integrale von (5), die zum andern Sektor gehören, und diese linearen Relationen gehen für \(\varepsilon \to 0\) ebenfalls in lineare Relationen für die Integrale von (4) über, die ``Strukturrelationen'' für die Unbestimmtheitsstelle \(\infty.\) Auch die Invarianten der Monodromiegruppe der Gleichung (5) nähern sich für \(\varepsilon \to 0\) gewissen Grenzwerten, welche dann als Invarianten der Unbestimmtheitsstelle \(\infty\) bezeichnet werden; sie lassen sich in einfacher Weise durch die Koeffizienten der Strukturrelationen ausdrücken. In ähnlicher Weise kann man der Differentialgleichung (4) statt die Differentialgleichung (5) auch irgend eine andere zuordnen, die die Bestimmtheitsstelle \(\infty\) und außerdem noch \(n\) variable Bestimmtheitsstellen hat und formal in die Gleichung (4) übergeht, wenn die variablen Bestimmtheitsstellen gleichzeitig oder auch einzeln nacheinander gegen die Stelle \(\infty\) konvergieren. Die Schlüsse bleiben dann fast unverändert die gleichen.