Sur le calcul aux différences finies. (Q5909408)

Die Differenzengleichung \[ (1)\quad \frac{F(x+w)-F(x)}{w}=\varphi(x) \] hat rein formal die Lösung \[ (2)\quad F(x)=\lim_{\mu=\infty}\left\{\int_a^\mu \varphi(z)dz- w \sum_{n=0}^{<\frac{\mu-x}{w}} \varphi(x+nw)\right\}. \] Wenn dieser Grenzwert existiert, stellt er wirklich eine Lösung dar. Wenn er nicht existiert, betrachtet Nörlund in Analogie zu den verschiedenen Summationsmethoden divergenter Reihen den Ausdruck \[ (3)\quad F(x)=\lim_{\mu=\infty}\left\{\int_a^\mu \varphi(z)\frac{\rho(z,\mu)}{\rho(x,\mu)}dz-w \sum_{n=0}^{<\frac{\mu-x}{w}} \varphi(x+nw)\frac{\rho(x+nw,\mu)}{\rho(x,\mu)}\right\}, \] wobei die ``summatorische Funktion'' \(\rho(z,\mu)\) gewissen Bedingungen genügen muß. Es zeigt sich, daß\ der Grenzwert (3), wenn er existiert, eine Lösung von (1) ist; dabei ist auch die Konsistenzbedingung erfüllt, daß\ die Existenz des Grenzwerts (2) stets die des Grenzwerts (3) nach sich zieht, und daß\ dann beide einander gleich sind. Die Lösung (3) hängt noch von der Wahl der Funktion \(\rho\) ab. Dadurch, daß\ man dieser weitere Bedingungen auferlegt, kann aber erreicht werden, daß\ für alle jetzt noch zulässigen \(\rho\) die Lösung (3) dieselbe ist. \textit{Nörlund} bezeichnet sie als Hauptlösung und beweist von ihr einige bemerkenswerte Sätze. Zum Beispiel: Wenn \(w\) in geeigneter Weise gegen Null abnimmt, so konvergiert die Hauptlösung gegen \(\int_a^x\varphi(z)dz\).