Über affine Geometrie XI: Lösung des ``Vierpunktproblems'' von \textit{Sylvester} aus der Theorie der geometrischen Wahrscheinlichkeiten. (Q5909416)

Mittels eines Verfahrens von \textit{W. Groß} (Monatsh. f. Math. 28, 77; vgl. das Ref. auf S. 757) wird ein Variationsproblem gelöst, das versuchsweise schon von \textit{Sylvester} und \textit{M. W. Crofton} behandelt worden ist (vgl. Encyclopaedia Britannica 19, 1885, 785-786 in ``Probability''). Es wird nämlich bewiesen: Es sei \({\mathfrak p}_k\) ein Punkt eines Eibereichs \(\mathfrak B\) mit dem Flächeninhalt \(F\), und es sei \(dF_k\) das Flächenelement von \(\mathfrak B\) bei \({\mathfrak p}_k\). Dann erreicht bei vorgeschriebenem Flächeninhalt \(F\) das dreifache Doppelintegral \[ \int_{\mathfrak B}\int_{\mathfrak B}\int_{\mathfrak B}| \text{Dreiecksfläche}{\mathfrak p}_1{\mathfrak p}_2{\mathfrak p}_3| \cdot dF_1dF_2dF_3 \] seinen kleinsten Wert dann und nur dann, wenn \(\mathfrak B\) von einer Ellipse, seinen größten, wenn \(\mathfrak B\) von einem Dreieck begrenzt wird. (IV 16.)