Sulle varietà algebriche a tre dimensioni a superficie-sezioni razionali. (Q5909455)

Die algebraischen Flächen mit rationalen Schnitten sind alle rational, und die mit elliptischen oder hyperelliptischen Schnitt sind entweder auch rational oder aber Regelflächen. Diese Sätze lassen sich auf algebraische Mannigfaltigkeiten \(M\) von mehr als zwei Dimensionen ausdehnen. Eine \(M\) mit rationalen Kurvenschnitten läßt sich eineindeutig auf einen Raum von gleicher Dimensionenzahl abbilden, und Entsprechendes gilt, mit gewissen Ausnahmen, auch von den \(M\) mit elliptischen oder hyperelliptischen Kurvenschnitten. Der Verf. untersucht die \(M_3\) mit Rücksicht auf ihre Flächenschnitte. Es zeigt sich, daß alle \(M_3\) mit rationalen Flächenschnitten rational (d. i. auf einen \(S_3\) abbildbar) sind, mit Ausnahme der doppelpunktfreien \(V_3\) des \(S_4\). Vom Standpunkt der Invariantentheorie aus handelt es sich um Mannigfaltigkeiten mit einem linearen einfachen (wenistens dreifach ausgehnten) System von rationalen Flächen. Eine solche Mannigfaltigkeit läßt sich auf eine Involution des \(S_3\) abbilden, nur daß diese Involutionen nicht alle rational sind. Genauer gelangt man zu einem doppeltzählenden \(S_3\) mit Verzweigungsflächen \(\varPhi^{2m}\) gerader Ordnung \(2m\), die eine der folgenden Singularitäten besitzen: 1. einen vielfachen Punkt \(O\) der Ordnung \(2m-2\); 2. eine vielfache Gerade \(r\) der Ordnung \(2m-4\); 3. zwei benachbarte Punkte \(O, O'\) mit der Vielfachheit \(2m-3\), verbunden durch eine vielfach Gerade der Ordnung \(2m-6\). Daraus folgt, daß die in Rede stehende Mannigfaltigkeit \(M_n^3\) eine vollständig reguläre ist, deren Geschlechter den Wert Null haben. Ähnliche Reduktionen treten auch in komplizierteren Fällen ein.