Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie und zur Theorie der Kettenbrüche. (Q5909494)

Im Anschluß an die klassische Identität \[ (1) \quad \prod_{\lambda=1}^{\infty}(1+x^{\lambda})(1-x^{2\lambda-1})=1 \;(| x| < 1) \] und deren bekannte zahlentheoretische Interpretation wird der folgende Satz bewiesen: Man bezeichne mit \(P_n(x)\) und \(Q_n(x)\) die Näherungszähler bzw. -nenner des Kettenbruches \[ (2) \quad K(x)= +\frac{x\mid }{\mid 1}+\frac{x^2\mid}{\mid 1}+\frac{x^3\mid}{\mid 1}+\cdots. \] Dann ist für \(| x| < 1\) \[ (3')\quad \lim_{n=\infty}P_n(x) = \frac{1}{\prod_{\lambda=1}^{\infty}(1-x^{5\lambda-4})(1- x^{5\lambda-1}} \] und \[ (3'')\quad \lim_{n=\infty}Q_n(x) = \frac{1}{\prod_{\lambda=1}^{\infty}(1-x^{5\lambda-3})(1- x^{5\lambda-2}}. \] Um auf obige Gleichungen zu kommen, gibt der Verf. zwei Wege: einen zahlentheoretischen und einen analytischen. Der erste führt ganz analog zum Ziele, wie bei \textit{Franklin} (C. R. 92, 448, 1881). Der zweite Beweis stützt sich hingegen auf die \textit{Gauß}schen Ausdrücke \[ \left[ \begin{matrix} k \\ l \end{matrix} \right] = \frac{(1-x^k)(1-x^{k-1})\cdots(1-x^{k-l+1})}{(1-x)(1-x^2)\cdots (1-x^l)}, \] mit deren Hilfe eine explizite Darstellung der Polynome \(P_n(x), Q_n(x)\) gegeben wird. Die zahlentheoretische Interpretation der Sätze (3'), (3'') lautet nun wie folgt: Die Anzahl \(Z_1(n)\) der Zerlegungen einer positiven ganzen Zahl \(n\) in voneinander verschiedene Summanden von der Eigenschaft \[ (4)\quad n=b_1+b_2+\cdots, b_{\lambda-1}>b_{\lambda}+1, b_{\lambda}\geqq 1, \] ist gleich der Anzahl \(F_1(n)\) der Zerlegungen von \(n\) in gleiche oder verschiedene Summanden von der Form \(5v\pm 1\). Weiter: Die Anzahl derjenigen Zerlegungen, (4), wo \(b_{\lambda}\geqq 2\) ist, ist gleich der Anzahl \(F_2(n)\) von \(n\) in gleiche oder verschiedene Summanden von der Form \(5v\pm 2\). Endlich beschäftigt sich der Verf. mit dem Verhalten von (2) für \(| x| =1\) und gewinnt, wenn \(x\) eine primitive \(m\)- Tetraeders Einheitswurzel ist, das Ergebnis, daß \(K(x)\) divergiert bzw. konvergiert, je nachdem \(m\) durch 5 teilbar ist oder nicht. (IV 2.)