Zur Theorie der Fundamentalgleichung. (Q5909502)

Es sei \(K\) ein algebraischer Zahlkörper von \(n\)-ten Grade und \(\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n\) eine Basis von \(K\). Es seien \(t_1, t_2, \dots, t_n\) unbestimmte Größen, \(\tau=t_1\omega_1+t_2\omega_2+\cdots+t_n\omega_n\) die Grundform und \[ F(x; t_1, \dots, t_n)=N(x-\tau)=0 \] die Grundgleichung des Zahlkörpers. Als Verallgemeinerung eines \textit{Hensel}schen Satzes beweist der Verf., daß \(F(x; t_1, t_2, \dots, t_n) \text{mod.} p^{\alpha}\), \(\alpha>1\) sich eindeutig als Produkt von einfachen und mod. \(p^{\alpha}\) irreduziblen Polynomen \(Q_{i\alpha}\) derstellten läßt. Es ist nämlich \[ F(x; t_1, \dots, t_n) \equiv Q_{1\alpha}(x; t_1, t_2, \dots, t_n)\dots Q_{k\alpha}(x; t_1, t_2, \dots, t_n)\;(\text{mod.}p^{\alpha}), \] wenn im Zahlkörper \(K\) die Primzahl \(p\) sich als Produkt von den Potenzen \(k\) verschiedener Primideale zusammensetzen läßt. Für den Kreisteilungskörper wird dasselbe Ergebnis ohne Benutzung der Idealtheorie hergeleitet.