Quelques remarques sur l'interpolation. (Q5909531)

Wenn man auf der Strecke (-1,+1) eine Funktion \(f(x)\) durch die Polynome \(P_{n_i}(x)\) näherungsweise darzustellen versucht, welche durch die \textit{Lagrange}sche Interpolationsformel bei \(n_i+1\) äquidistanten Ordinaten geliefert wird, und wenn nicht nur diese Polynome auf einer Teilstrecke \(AB\) jener Strecke beschränkt bleiben, sondern auch die Polynome \(P_{n_i+1}(x,\alpha)\), bei denen noch eine beliebige weitere Interpolationsstelle \(\alpha\) hinzugenommen wurde, dann ist \(f(x)\) im Innern von \(AB\) analytisch, falls \(\overline{\lim}\frac{n_{k+1}}{n_k}\) endlich ist, andernfalls ``quasianalytisch''. Der Verf. zeigt, daß\ die sich auf \(\alpha\) beziehende Bedingung nicht wegelassen werden darf. Er beweist auch beispielsweise, daß\ die Polynome \(P_n(x)\) für die Funktion \(| x| \) in keinem noch so kleinen Intervall konvergieren. Dagegen konvergiert passender von \textit{Runge} gefundener nicht äquidistanter der Interpolationsstellen die Folge der \textit{Lagrange}schen Interpolationspolynome \(P_n(x)\) bei jeder auf der Strecke (-1,+1) regulären analytischen Funktion \(f(x)\) auch noch in Punkten außerhalb dieser Strecke gegen \(f(x)\). Bei dieser Verteilung, die z. B. bei der \textit{Gauß}schen Interpolation an den Nullstellen der \textit{Legendre}schen Polynome zutrifft, gilt für jede stetige Funktion \(f(x)\): \[ \int_{-1}^{+1}f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\int_{-1}^{+l}P_n(x)dx, \] während nicht notwendig für jedes \(x\) zwischen -1 und +1 die Gleichung \(f(x)=\lim_{n\to\infty}P_n(x)\) gilt.