Über Interpolation. (Q5909533)

Die \textit{Lagrange}sche Formel \[ \begin{multlined} L(x)=\sum_{k=1}^n y_k\frac{\omega(x)}{\omega'(x_k)(x- x_k)}\;(\omega(x)=C(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n), \\ C=\text{Konstante}) \end{multlined} \] stellt die sogen. \textit{Lagrange}sche Parabel \((n-1)\)-ter Ordnung dar, die durch die \(n\) Punkte mit den rechtwinkligen Koordinaten \((x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)\) bestimmte Parabel \((2n- 1)\)-ter Ordnung, deren zu diesen Punkten gehörige Tangenten zur Abszissenachse parallel laufen. \textit{Fejér} nennt sie \textit{Treppenparabel} und betrachtet sie besonders für vier spezielle Abszissenverteilungen: 1. \(x_1,x_2,\dots,x_n\) sind die Nullstellen des \textit{Legendre}schen Polynoms \(P_n(x)\) (der \textit{Gauß}sche Fall); 2. \(x_1,x_2,\dots,x_n\) sind die Nullstellen des \(n\)-ten \textit{Tschelbyscheff}schen Polynoms \(T_n(x)=\cos(n\arccos x)\); 3. \(x_k=-1+\frac{2k}{n+1},k=1,2,\dots,n\) (\textit{Newton}scher Fall); 4. \(x_k=\cos\frac{k\pi}{n+1},k=1,2,\dots,n\). In den Fällen 1. und 2. ändert sich die Treppenparabel in gewisser Weise stetig \(y_1,y_2,\dots,y_n\) (gleichmäßig in \(n\)). Ist ferner \(y_k=f(x_k)\), und die beschränkte Funktion \(f(x)\) stetig an einer Stelle \(\xi:-1<\xi<+1\), so konvergieren die Treppentarabeln für \(x=\xi\) gegen \(f(\xi)\), außerdem bleiben sie im ganzen Intervall (-1,1) zwischen der oberen und unteren Grenze von \(f(x)\) eingeschlossen. Im Falle 2. gilt dies auch für die Endpunkte \(\pm 1\). Es wird dann der Satz von \textit{Stieltjes} über die \textit{Gauß}sche Quadratur bewiesen. Schließlich werden trigonometrische Interpolationen betrachtet, die dem \textit{Lagrange}schen bzw. \textit{Gauß}schen Fall entsprechen. Die Betrachtungen werden durchweg mit elementaren Mitteln geführt. (IV 3 D.)