Sur la sommation des séries de \textit{Dirichlet}. (Q5909551)

Es sei \(f(s)=\sum a_nn^{-s}\) eine in einer Halbebene \({\mathfrak R}(s)=\sigma>\alpha\) konvcrgente \textit{Dirichlet}sche Reihe, und es sei darüber hinaus \(f(s)\) eine in der Halbebene \({\mathfrak R}(s)>\sigma_0 (\sigma_0<\alpha)\) reguläre analytische Funktion. Der Verf. unterscheidet zwei Fälle; erstens: bei passender Wahl einer endlichen reellen Zahl \(\xi\) besteht gleichmäßig für \(\sigma\geqq\sigma_0\) die Beziehung \[ (1)\quad f(\sigma+it)=O(| t| ^\xi); \] zweitens: eine solche endliche Zahl \(\xi\) existiert nicht. Dann erscheint als besonders bemerkenswert der Fall, wo für \(\sigma\geqq\sigma_0\) wenigstens gleichmäßig eine Beziehung der Gestalt \[ (2)\quad (\sigma+it)=O(e^{\eta| t| }) \] besteht. Im Falle (1) nennt \textit{Hardy} die untere Grenze der Zahlen \(\xi\) die Ordnung von \(f(s)\) für \(\sigma=\sigma_0\); im Falle (2) nennt er die untere Grenze der Zahlen \(\eta\) den Index von \(f(s)\) für \(\sigma=\sigma_0\) und bezeichnet sie mit \(H(\sigma_0)\). Auf den Fall (1) beziehen sich fast alle bisher bekannten Summationsmethoden, insbesondere die \textit{Bohr}sche durch \textit{Cesàro}sche Mittel (F. d. M. 40, 313 (JFM 40.0313.*), 1909) und die \textit{M. Riesz}sche durch typische Mittel (F. d. M. 40, 315 (JFM 40.0315.*), 1909). Für diese gilt bekanntlich der Satz; Eine \textit{Dirichlet}sche Reihe \(f(s)\) läßt sich für \(\sigma>\sigma_0\) dann und nur dann durch \textit{Cesàro}sche (typische) Mittel summieren, wenn \(f(s)\) für \(\sigma>\sigma_0\) von endlicher Ordnung ist. Der Verf. sucht nun nach einer wirksamen Summationsmethode auch im Falle (2) und findet diese, indem er den \textit{Abel}schen Satz über Potenzreihen heranzieht. Er setzt \[ f(s)=\lim_{y=0}\sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s}e^{-n^\lambda y} \] und nennt für den Fall, daß\ der Grenzwert rechter Hand existiert, \(f(s)\) summierbar \((A,\lambda)\). Er deutet nun kurz den Beweis der folgenden Sätze an: 1. der Summabilitätsbereich von \(f(s)\) bei festem \(\lambda\) ist eine Halbebene; 2. notwendig und hinreichend damit die Reihe \(f(s)\) für \(\sigma>\sigma_0\) sich \((A,\lambda)\) summieren läßt, ist, daß\ der Index \(H(\sigma)<\frac{\pi}{2\lambda}\) für \(\sigma>\sigma_0\) ist. Daraus geht hervor, daß\ die Summationsmethode um so wirksamer ist, je kleiner \(\lambda\) gewählt wird. Diese beiden Sätze zeigen, daß\ die \textit{Hardy}sche Summationsmethode im Falle 2. das gleiche leistet, wie die die \textit{Bohr}sche bzw. die \textit{Riesz}sche im Fall 1. Zum Schlusse wird hervorgehoben, daß\ sich die angegebenen Methoden und Sätze auch auf \textit{Dirichlet}sche Reihen des allgemeinen Typus \(\sum_{n=1}^\infty a_ne^{-\lambda_ns}\) übertragen lassen.