Sopra una classe di funzioni che comprendono come caso particolare le funzioni cilindriche. (Q5909566)

Der Verf. untersucht eine Verallgemeinerung der \textit{Bessel}schen Funktionen, indem er die Gleichung \[ \sum_{r=1}^{k+1}A_{r,k}x^{k-r+1}y^{(k-r+1)}+x^ky=0 \] betrachtet, wobei \(A_{r,k}\) für \(r\leqq k\) ein Polynom \((r-1)\)-ten Grades von \(\nu\) und \(A_{k+1,k}=\text{ konst. }r^k\) ist. Weisen keine zwei der Zahlen \[ \nu,\nu(1-k),\nu(1-2k),\dots,\nu[1-(k-1)k] \] eine ganzzahlige Differenz auf, so existiert stets ein wohlbestimmtes System von Integralen. Eines derselben \(L_{\nu,k}(x)\) liefert die Verallgemeinerung der gewöhnlichen \textit{Bessel}schen Funktionen; \(x^{-\nu}L_{\nu,k}(x)\) ist eine ganze Funktion sowohl von \(x\) wie auch von \(\nu\). Es ist \[ L_{\nu,k}=\sum_{r=0}^\infty \frac{(-1)^r\left(\frac xk\right)^{\nu+rk}}{\Gamma(\nu+r+1)\Gamma(2\nu+r+1)\cdots \Gamma(k-1\nu+r+1).} \] Es bereitet keinerlei Schwierigkeiten, eine ähnliche asymptotische Formel für große \(\nu\) (nicht für große \(x\)) herzuleiten, wie sie im Falh; von \(k=0\), d. h. für die gewöhnlichen \textit{Bessel}schen Funktionen bekannt ist. Weiter wird der Fall \(\nu=0\) betrachtet und eine ganze Funktion \(M_1(x)\) eingeführt, die als die Verallgemeinerung der von \textit{Neumann} (Theorie der \textit{Bessel}schen Funktionen \S\,17, Leipzig 1867) mit \(Y^0\) bezeichneten Funktion anzusehen ist. Auch die \textit{Neumann}schen Zylinderfunktionen \(O^n\) sowie die bekannten Entwicklungen von \((y-x)^{-1}\) bzw. die einer analytischen Funktion werden verallgemeinert. Schließlich werden verschiedene partielle Differentialgleichungen, von denen die Gleichung \[ \frac{\partial^ku}{\partial x_1\partial x_2\dots\partial x_n}=\lambda(x_1,x_2,\dots,x_k) \] die einfachste Form hat, mit Hilfe der oben eingeführten Funktionen integriert.