Solution élémentaire du problème de l'inversion des fonctions elliptiques. (Q5909573)

Ist \(J(z)\) das elliptische Integral \(\int_1^z\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(z^2-\lambda^2)}}\) mit den Perioden \(2\omega_1\) und \(2\omega_2\), so ist \(\wp(J(z)\mid \omega_1,\omega_2)\) eine rationale Funktion \(R(z)\) von \(z\). Das Umkehrproblem besteht darin, zu zeigen, daß\ \(R\) von der ersten Ordnung ist. Mit Hilfe gewisser Polynomentwicklungen wird auf elementarem Wege bewiesen: Ist ein Kreis \(| z| =\rho<1\) um den Nullpunkt gegeben, so hat \(R(z)\) in ihm bei kleinem \(| \lambda| \) keinen Pol. Bei genügend kleinem \(\lambda\), d. h. in der Umgebung der Entartung \(\lambda=0\), hat \(R(z)\) außerhalb des Kreises nur den Pol \(z=1\): die Funktion \(R\) ist von der ersten Ordnung. Die \textit{Landen}sche Transformation überträgt das Ergebnis von kleinen auf beliebige Werte \(\lambda\).