Sur les singularités irrégulières des équations différentielles linéaires. (Q5909583)

Für die Differentialgleichung \[ (E_0)\quad y''=(s^2x^{2m}+a_{2m-1}x^{2m-1}+\sum_{v=-\infty}^{2m-2}a_vx^v)y \] erhält man, wenn \(s\neq 0\), vermittelst sukzessiver Approximationen zwei Systeme von Normalintegralen \(y_k^{(1)}\) und \(y_k^{(2)}(k=1,2,\dots,m+1)\), welche für genügend große \(| x|=r\) bei hinreichend kleinem \(\eta\) in den Sektoren \((4k-5)r+\eta\leqq2(m+1)\arg x\leqq (4k+1)r-\eta\) bzw. \((4k-3)r+\eta\leqq 2(m+1)\arg x\leqq (4k+3)r-\eta\) konvergieren. (Vgl. \textit{Birkhoff}, American M. S. Trans. 10, 436; F. d. M. 40, 352 (JFM 40.0352.*), 1909). \textit{Garnier} betrachtet nun \((E_0)\) als Grenzfall einer Differentialgleichung \(E\), welche außer den von \(\infty\) verschiedenen singulären Stellen von \((E_0)\), \(m+2\) singuläre Stellen der Bestimmtheit \(e_0=\infty, e_1,e_2,\dots,e_{m+1}\) besitzt, und läßt diese in geeigneter Weise nach \(\infty\) rücken. Dann entsprechen den Integralen der zu den \(e_i\) gehörigen kanonischen Integralsysteme die obigen Normalintegrale und den geeignet gewählten Invarianten der Monodromiegruppe von \((E)\) in bezug auf die \(e_i\) die Produkte \(\alpha_k^{(1)}\alpha_k^{(2)}\) und \(\alpha_k^{(2)}\alpha_{k+1}^{(1)}\), wenn \(y_{k+1}^{(1)}-y_k^{(1)}=\alpha_k^{(2)}y_k^{(2)}; y_{k+1}^{(2)}-y_k^{(2)}=\alpha_{k+1}^{(1)}y_{k+1}^{(1)}\) ist. In der dritten Note behandelt \textit{Garnier} die Verteilung der Nullstellen der Integrale von \((E)\) in der Umgebung \(\infty\) und untersucht noch den Fall \(s=0\), \(a_{2m-1}\neq 0\).