Note on the roots of algebraic equations. (Q5909663)

Im Anschluß an die bezüglichen Veröffentlichungen von \textit{E. Landau} [Vierteljahrsschr. Naturf. Ges. Zürich 51, 252--318 (1906; JFM 37.0418.01); Ann. Éc. Norm. Supér (3) 24, 179--201 (1907; JFM 38.0433.01)], \textit{R. E. Allardice} Bull. Am. Math. Soc. (2) 13, 443--447 (1907; JFM 38.0117.03)], \textit{L. Fejér} [C. R. 145, 459--461 (1908; JFM 38.0117.02)] leiten die Verf. sieben Sätze ab, aus denen gewisse Grenzen für die Wurzeln algebraischer Gleichungen ersichtlich sind. Als Proben mögen dienen: I. Die Gleichung \[ 1+x+c_{s+1}x^{s+1}+c_{s+2}x^{s+2}+\dots c_mx^m=0\quad (s\geq 1) \] hat eine Wurzel, deren absoluter Betrag nicht größer ist als \(\root s\of{m}\) gleichgültig, was für Werte \(c_{s+1},c_{s+2}\dots,c_m\) haben mögen. II. Es seien \(s\) und \(m\) zwei positive ganze Zahlen, zwischen denen eine Primzahl \(p\) liegt, und \(M\) irgendeine positive Konstante. Dann gibt es stets Gleichungen von der Form \[ 1+x+c_{s+1}x^{s+1}+\cdots +c_mx^m=0, \] die alle Wurzeln mit Ausnahme einer einzigen vom absoluten Betrage \(>M\) haben. Jede Gleichung von der Form \[ 1+x+c_{s+1}x^{s+1}+c_{s+2}x^{s+2}+\dots +c_mx^m=0\quad (s\geq 1) \] hat wenigstens eine Wurzel, die nicht größer ist als 2 im absoluten Betrage, während spezielle Gleichungen dieser Form alle Wurzeln mit Ausnahme einer einzigen größ\ er im absoluten Betrage haben können als jedes vorgegebene \(M\). VII. Alle Wurzeln der Gleichung \[ x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots +a_n=0 \] sind im absoluten Betrage kleiner als oder gleich \[ 1+| a_1|^2+| a_2|^2+\cdots +| a_n|^2. \] Aus dem letzteren Satze wird der bekannte \textit{J. Hadamard}sche Determinantensatz erschlossen [Bull. Sci. Math. (Darboux) 17, 240--246 (1893; JFM 25.0221.02)].