Sur la distribution des nombres premiers. (Q5909688)

\textit{E. Schmidt} hat die Existenz einer solchen positiven Zahl \(K\) dargetan, für welche \[ (1)\quad \prod(x)-Li(x)+\frac12\;Li(\sqrt{x}) <-K \frac{\sqrt{x}}{\log x}, >K \frac{\sqrt{x}}{\log x} \] bei unbeschränkt wachsenden Werten von \(x\). Andrerseits gilt unter der \textit{Riemann}schen Hypothese über die Wurzeln von \(\zeta(s)\) \[ (2)\quad \prod(x)-Li(x)=O(\sqrt{x}\log x). \] Zwischen (1) und (2) klafft eine Lücke, die der Verf. verkleinert, indem er die Ungleichheiten (1) ersetzt durch: \[ (3)\quad \prod(x)-Li(x)<-K \sqrt{x}\cdot\frac{\log\log\log x}{\log x},\;>K \sqrt{x}\cdot\frac{\log\log\log x}{\log x}. \] Daraus ergibt sich augenfällig, daß die Ungleichheit \(\prod(x)<Li x\), die von verschiedenen Autoren aus empirischen Gründen vermuten ist, nicht für jeden hinreichend großen Wert von \(x\) bestehen kann.