Über den Integralbegriff. (Q5909709)

Sei \(f(x)\) eine in dem Intervalle \(a\leqq x\leqq b\) erklärte beschränkte reelle Funktion. Jede stetige Funktion \(\varphi(x)\), die so beschaffen ist, daß \[ \varphi(a)=0,\;\overline{D\varphi(x)}\leqq f(x)\;(a\leqq x\leqq b) \] ist, unter \(\overline{D\varphi(x)}\) die obere Derivierte verstanden, wird eine zu \(f(x)\) im Intervalle \((a,b)\) adjungierte Unterfunktion genannt. Analog heißt jede den Beziehungen \[ \psi(a)=0,\;\underline{D\psi(x)}\geqq f(x)\quad (\underline{D\psi(x)}={\text{untere Dervierte}})\;(a\leqq x\leqq b) \] genügende Funktion, eine zu \(f(x)\) im Intervalle \((a,b)\) adjungierte Oberfunktion. Es gibt unendlich viele adjungierte Funktionen beiderlei Arten. Die Werte \(\varphi(b)\) haben eine endlich obere Grenze \textit{g}, die Werte \(\psi(b)\) eine endliche untere Grenze \textit{G}. Es gilt \[ G\geqq g. \] Ist \(G=g\), so heißt \(f(x)\) im Intervalle \((a,b)\) integrierbar. Man setzt \[ \int^b_af(x)dx=G=g. \] Der im vorstehenden definierte Integralbegriff hat, wie ohne Hilfsmittel der Theorie der Punktmengen wird, eine Reihe von Eigenschaften der \textit{Riemann}schen Integrale. Sodann wird, nunmehr unter Benutzung der \textit{Lebesgue}schen Theorie bewiesen, daß jede beschränkte im \textit{Lebesgue}schen Sinne integrierbare Funktion auch das im Sinne des Verf. gebildete Integral besitzt und beide Integralbildungen auf denselben Wert führen. Ob der neue Integralbegriff vielleicht weiter als der \textit{Lebesgue}sche ist, bleibt unentschieden. In einem Schlußabschnitt werden nicht beschränkte Funktionen betrachtet. Hier steht die Existenz von Unter- und Oberfunktionen nicht mehr fest. Sind diese indessen vorhanden, so läßt sich das Integral wie vorhin definieren.