The linear difference equation of the first order. (Q5909715)

Verf. gibt in expliziter Form eine Lösung der Differentialgleichung erster Ordnung \(f(x+1)=E(x)f(x)\), worin \(E(x)\) eine ganze Funktion ist, die der einzigen Beschränkung unterworfen wird, daß die in der \textit{Weierstraß}schen Produktdarstellung \[ E(x)=e^{g(x)}\varPi_{i=1}^{\infty}\left(1-\frac{x}{c_i}\right) e^{\sum_{n=1}^{i-1}\frac{1}{n}\left(\frac{x}{c_i}\right)^n} \] auftretende Funktion \(g(x)\) ein Polynom ist (das Geschlecht darf unendlich sein). Die Lösung lautet: \[ f(x)=e^{\overline{g}(x)}\prod_{i=1}^{\infty}\;\frac{\varGamma(x- a_i)e^{\sum_{n=2}^{i}\frac{\varPhi_n(x)}{(n-1)na_i^{n- 1}}}}{(a_i)^x\varGamma(- a_i)} \prod_{i=1}^{\infty}\;\frac{\overline{\varGamma}(x- b_i)\;e^{\sum_{n=2}^{i}\frac{\varPhi_n(x)}{(n-1)nb_i^{n- 1}}}}{(b_i)^x\overline{\varGamma}(-b_i)}. \] Darin bedeutet \({\overline{g}}(x)\) ein durch \(g(x)\) mittels der \textit{Bernoulli}schen Polynome vollständig bestimmtes Polynom; \(\varGamma(u)\) ist die bekannte Gammafunktion, \({\overline{\varGamma}}(u)=(1-e^{2\pi iu}\varGamma(u),\;\varphi(x)\) das \textit{Bernoulli}sche Polynom vom Index \(n\); \(a_i\) sind die links, \(b_i\) die rechts von der imaginären Axe liegenden Nullstellen \(c_i\). Die Lösung ist eine meromorphe Funktion mit den Nullstellen \(x=b_i+n\;(i,n=1,2,\dots)\) und den Polen \(x=a_i-n\;(i=1,2,\dots;\;n=0,1,2,\dots)\). -- Die Lösung läßt sich leicht auf den Fall ausdehnen, daß \(E(x)\) eine meromorphe Funktion ist. (Vgl. \textit{Hurwitz}, Acta Math. \textit{20} (1897); F. d. M. \textit{28}, 251-252, 285-312; \textit{Carmichael}, American Journ. \textit{35}, 163-182 (1913); F. d. M. \textit{44}, 397-398; \textit{Barnes}, Lond. M. S. Proc. (2) \textit{2} (1904) 438-469; F. d. M. \textit{36}, 406-407).