Remarks on potential theory (Q5909725)

Für die fundamentalen Sätze über das Verhalten des Körpers- und Flächenpotentials und ihrer Ableitungen, sowie für die analogen Sätze über Doppelbelegungen hatte der Verf. in den Math. Ann. 68 (F. d. M. \textit{40}, 833, 1909) einen neuen einfachen Beweis mitgeteilt, der jedoch Fläche und Belegung als analytisch voraussetzt und das Existenztheorem der pariellen Differentialgleichungen benutzt. Hier gibt er eine andere durchsichtige Ableitung derselben Sätze ohne jene Voraussetzung und ohne Benutzung dieses Hilfsmittels. Hinsichtlich der Belegunsfläche sowie der Grenzfläche der köperlichen Masse wird angenommen, daß sie endlich, integrabel und von endlicher Oberfläche sei, daß ferner der Flächenpunkt \(P\), in dessen Umgebung die Potentiale zu untersuchen sind, ein einfacher Punkt ist, nicht auf dem Rande liegt, und daß die Fläche in \(P\) und einer gewissen Umgebung von \(P\) eine stetige Normale habe. Die Flächenbelegung wird als integrabel und dem absoluten Betrage nach unter einer festen Schranke liegend angenommen. Zum Nachweis der Endlichkeit des Potentials der einfachen Flächenbelegung ist neben den vorstehenden Annahmen nur der folgende Hilfssatz erforderlich: Ist in der Nähe des Punktes \(P\) die Fläche durch \(z=F(x,y)\) darstellbar, wobei \(F,\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y}\) endlich sind, und ist \(N\) das Maximum von \(\sqrt{1+\left( \frac{\partial F}{\partial x} \right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y} \right)^2}\), so ist \[ \int_S\frac{1}{r}d\sigma\leqq 2\pi N\left( \frac{J' }{\pi} \right)^{\frac{1}{2}}. \] Hierin ist die Fläche \(S\), über die zu integrieren ist, ein beliebiges Teilgebiet des Teils der Gesamtfläche, für den obige Voraussetzung gilt, \(J'\) ist der Flächeninhalt der Projektion von \(S\) auf die \(xy\)-Ebene. Die stetige Änderung des Flächenpotentials wird in bekannter Weise nachgewiesen, seine Ableitungen werden mittels des Satzes von \textit{Stokes} auf das Potential einer Doppelbelegung zurückgeführt, und die Diskontinuität des letzteren ergibt sich mittels eines \textit{Green}schen Theorems. Aus diesem Theorem ergibt sich auch das Verhalten der ersten Ableitungen des Potentials einer Doppelbelegung. Die Sätze über Körperpotentiale folgen leicht aus den für die Flächenpotentiale. Endlich werden noch für die höheren Ableitungen der Potentiale drei Sätze aufgestellt, und es wird erörtert, unter welchen Voraussetzungen alle Sätze auch beim Heranrücken des Aufpunktes an Eckpunkte gültig bleiben.