Über den Zusammenhang zwischen dem Maximalbetrage einer analytischen Funktion und dem größten Gliede der zugehörigen \textit{Taylor}schen Reihe. (Q5909731)

Bedeutet für \(| z| = r M (r)\) den Maximalbetrag der ganzen Funktion \(F (z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \cdots\) und \(m (r)\) den größten der Werte \(| a_0|, | a_1|, r, [a_2| r^2, \dots,\) so gilt, wie der Verf. beweist, \[ M (r) < m (r) [\text{lg}\, m (r)]^{\frac 12 + \varepsilon }. \] Für ganze Funktionen endlicher Ordnung gilt die genauere Ungleichung \[ M (r) < m (r) [\text{lg} m (r)]^{\frac 12} (\sqrt {2\pi} + \varepsilon). \] Durch Einführung von \(\lg_2 m (r), \lg_3 m (r)\) usw. können diese Beziehungen noch verschärft werden. Auch gibt es Klassen von nicht ganzen Funktionen, für welche der Verf. fast ebenso scharfe Abschätzungen erhält.