Sur le signe de la partie réelle des racines d'une équation algébrique. (Q5909777)

Es sei \(f (x)\) eine algebraische Gleichung mit reellen Koeffizienten vom Grade \(n\) \((n = 2m,\ n = 2m +1).\) Man schreibe \[ f(x) = \varphi(x^2) + x \psi(x^2). \] Bildet man nach der Methode von Bezout die Resultante der Gleichungen \(\varphi(x) = 0\), \(\psi(x) = 0\), so ergibt sich eine Determinante, die man als Matrix einer quadratischen Form \(\theta (x_1, x_2, \dots x_m)\) auffassen kann. Man kann in derselben Weise dem Polynom \(xf(x)\) eine quadratische Form \(\theta_1 (y_1, y_2, \dots)\) zuordnen. Schreibt man schließlich \[ T(z_1, z_2, \dots, z_n) = \theta (z_2, z_4, \dots, z_{2m}) + \theta (z_1, z_3), \] so lassen sich die Resultate der vorstehenden Arbeit folgendermaßen formulieren. Damit die Wurzeln von \(f(x)\) alle negative reelle Teile haben, ist notwendig und hinreichend, daß \(T\) positiv definit ist. Ein anderes System von notwendigen und hinreichenden Bedingungen ist das folgende: 1) \(\theta\) positiv definit. 2) \(\varphi(x)\) vom Grade \(m\) mit lauter positiven Koeffizienten, wenn das höchste Glied in \(f(x)\) positives Vorzeichen hat.