Highly composite numbers. (Q5909784)

Bezeichnet man durch \(d(N)\) die Anzahl der Teiler der ganzen positiven Zahl \(N\), so spielt in der analytischen Zahlentheorie oft das Problem eine Rolle, eine möglichst gute Abschätzung von \(d(N)\) nach oben zu finden. So beweist der Verf. in dieser Hinsicht den Satz, daß\ \[ d(N)< 2^{ \frac {\log N}{\log\log N}+ 0 \left(\frac {\log N}{(\log\log N)^2}\right) } \] für alle \(N\) und \[ d(N)> 2^{\frac {\log N}{\log\log N}+ O \left(\frac {\log N}{(\log\log N)^2}\right) } \] für unendlich viele \(N,\) und unter Heranziehung aller bekannten Resultate über die Verteilung der Primzahlen kann man in diesen Ungleichungen die rechte Seite sogar durch \[ 2^{Li(\log N) +O\left[\log Ne^{ -\alpha \sqrt {\log \log N}}\right] } \] ersetzen. -- Für eine tiefere Beurteilung der Frage nach der Ordnung von \(d (N)\) ist nun die Betrach\-tung von ``höchstzusammen\-gesetzten'' Zahlen unentbehrlich. Als eine solche Zahl be\-zeichnet der Verf. jede Zahl \(N\) mit der Eigenschaft, daß\ \(d(N)> d(N')\) für \(N> N'\) ist. Man kann eine solche Zahl in der Form schreiben: \[ 2^{\alpha_2}3^{\alpha_3}5^{\alpha_5} \cdots p^{\alpha_p}. \] Der Verf. beweist nun, daß\ \(\alpha_2 \geqq \alpha_3 \geqq \alpha_5 \cdots \geqq \alpha_p\) ist, und daß\ \(\alpha_p\) für alle höchstzusammen\-gesetzten Zahlen gleich 1 ist, abgesehen von 4 und 36. Sodann beweist er, daß\ die Exponenten \(\alpha_i\) von Anfang an bis zu einem gewissen \(\alpha_\lambda\) wirklich monoton abnehmen, wo \(\lambda\) eine gewisse Funktion \(p\) ist. Unter den letzten Exponenten können dagegen auch gleiche vorkommen. Der Verf. beweist, daß\ unter ihnen in der Tat Gruppen von einander gleichen Exponenten vorkommen, die die Werte \(1, 2, 3, \dots, \mu\) annehmen, wo \(\mu\) wieder eine gewisse Funktion von \(p\) ist. -- Ist \(\lambda\) sehr klein im Vergleich mit \(p,\) so ist \[ \alpha_\lambda \log \lambda \sim \frac {\log p}{\log 2}. \] Die nach \(\alpha_\lambda\) folgenden Exponenten können bestimmt werden mit einem Fehler, der höchstens 1 ist. -- Unter den weiteren Resultaten ist bemerkenswert, daß\ das Verhältnis von zwei aufeinanderfolgenden höchstzusammengesetzten Zahlen gegen 1 konvergiert. Für weitere Untersuchung führt der Verf. noch gewisse ausgezeichnete höchstzusammengesetzte Zahlen \(N\) ein mit der Eigenschaft, daß\ sich ihnen eine positive Zahl \(\varepsilon\) zuordnen läßt, sodaß\ \[ \begin{aligned} & \frac {d(N')}{N'^\varepsilon}\leqq \frac {d(N)}{N^\varepsilon}, \;N'<N,\;& \frac {d(N')}{N'^\varepsilon}< \frac {d(N)}{N^\varepsilon}, \;N'>N.\end{aligned} \] Alle solche Zahlen \(N\) lassen sich aufstellen. Mit ihrer Hilfe und unter der Annahme der Richtigkeit der \textit{Riemann}schen Vermutung über die Nullstellen der \textit{Riemann}schen \(\zeta\)-Funktion gelingt es dem Verf. seine Abschätzung von \(d(N)\) noch weiter zu verschärfen. -- Auf wei\-tere Einzelheiten der höchst interessanten und bedeutenden Arbeit kann hier nicht eingegangen werden. Vgl. auch JFM 45.0286.02.