The second theorem of consistency for summable series. (Q5909790)

Dieser Arbeit liegt der \textit{M. Rieß}sche Summabilitätsbegriff \((\lambda, \kappa)\) zugrunde, der sich auf eine ins Unendliche wachsende Folge von Zahlen \(\lambda_n\) (Typus) einen positiven Exponenten \(\kappa\) (Ordnung) stützt: die Summation einer Reihe \(\varSigma c_n\) geschieht dann durch die Formel \[ c(\omega) =\sum_{\lambda_n<\omega}(\omega -\lambda_n)^\kappa c_n, \quad C=\lim_{\omega=\infty}\omega^{-\kappa} C(\omega). \] Die Wirksamkeit der Methode nimmt zu mit wachsender Ordnung \(\kappa:\) das ist das erste ``Theorem of consistency''; sie ist andrerseits um so größer, je weniger rasch die Folge \(\lambda_n\) ansteigt. Dieses zweite ``Theorem of consistency'' wird hier unter der Voraussetzung bewiesen, daß\ die mit der ersten zu vergleichende zweite Folge \(\lambda'\) aus der \(\lambda\)-Folge durch eine Logarithmico-Exponential-Funktion entspringt, d. h. durch eine Funktion, welche aus den vier Spezies und den Operationen \(\surd\), log, exp aufgebaut ist. Eine Reihe, welche summabel \((\lambda, \chi)\) ist, ist unter diesen Umständen auch summabel \((\lambda', \chi),\) falls \(\lambda'\) mit unbegrenzt wachsendem \(\lambda\) nicht stärker unendlich wird als eine feste Potenz von \(\lambda.\)