Summation of a certain series. (Q5909791)

Die Reihe \[ \varPhi(s, x)=\sum_{n=0}^\infty (\sqrt{x+n}+\sqrt{x+n+1})^{-s} =\sum_{n=0}^\infty (\sqrt{x+n+1}-\sqrt{x+n})^s \] wird für \(x=0\) und ungerade \(s\) durch die \textit{Riemann}sche \(\zeta\)-Funktion ausgedrückt. Der Ausdruck ist eine endliche Summe, in welcher die Werte der \(\zeta\)-Funktion für \[ \frac s2, \frac s2-2, \frac s2-4, \dots \] vorkommen.