The oscillations about a position of equilibrium where a simple linear relation exists between the frequencies of the principal vibrations. (Q5909831)

Verf. knüpft an eine Arbeit von \textit{Korteweg} an. Behandelt wird der allgemeinste Fall eines Systems von \(m\) Freiheitsgraden, das um einen stabilen Gleichgewichtszustand kleine Schwingungen ausführt. Sind \(n_x, n_y, \dots\) die Hauptfrequenzen, so lassen sich im allgemeinen Fall die Koordinaten \(x, y, \dots\) durch eine \textit{Fourier}sche Reihe mit Gliedern \(\cos (p\varphi + q\psi +\cdots)\) darstellen, wobei \(p, q\dots\) ganze Zahlen, \(\varphi, \psi, \dots\) lineare Funktionen der Zeit sind von der Form \(\varphi = (n_x+\sigma)t + \lambda.\) Gibt es nun ganze Zahlen \(p_1, q_1 \dots\) so, daß\ \(p_1n_x+ q_1n_y +\cdots = \varrho\) eine im Vergleich zu \(n_x \dots\) sehr kleine Zahl ist, und setzt man \(p = kp_1\mp 1, q=kq_1, \dots (k\) eine ganze Zahl), so geben die Glieder \(\cos(p\varphi +\cdots .)\) Anlaß\ zu Schwingungen, die Verf. ``vibrations of relation'' nennt. Ist \(S_1\)i die Summe der absoluten Werte von \(p_1, q_1, \dots,\) so bleiben diese ausgezeichneten Schwingungen für \(S_1 > 4\) klein im Vergleich zu den Hauptschwingungen. Im Falle \(S_1\leqq 4\) dagegen können sie von derselben Größenordnung werden, und die \textit{Fourier}sche Reihenentwicklung ist i. a. nicht mehr zulässig. Diese Fälle \(S_1 = 2, 3, 4\) werden vom Verf. in der Arbeit untersucht. In erster Annäherung können die Bewegungsgleichungen dann stets auf die Form \(\ddot x+ n_x^2 x- \frac {\partial R}{\partial x} = 0\) gebracht werden, wo \(R\) eine Funktion von \(x, y,\dots\) ist, die Verf. in den einzelnen Fällen berechnet. Die Koordinaten können i. a. durch Quadraturen als Funktionen der Zeit gefunden werden. Die Lösungen lassen sich schreiben \(x = A_x \cos (n_xt + \alpha_x),\) wo \(A\) und \(\alpha \) langsam mit der Zeit veränderlich ist. Die Größen \(A_x, \dots\) lassen sich mit Hilfe einer einzigen Größe \(\varphi\) ausdrücken, die Größen \(a_x, \dots\) geben Anlaß\ zur Bildung einer Winkelgröße \(\varPhi.\) Dann besteht stets eine bestimmt angebbare Beziehung zwischen \(\varphi\) und \(\varPhi.\) Ihre Abhängigkeit bringt Verf. praktisch dadurch zur Anschauung, daß\ er \(\varphi\) und \(\varPhi\) als Polarkoordinaten aufträgt. Würde die der ganzen Arbeit zugrunde gelegte Bedingung \(p_1n_x+ q_1n_y+\cdots = \varrho\) nicht bestehen, so beschriebe in erster Annäherung jede Hauptkoordinate eine harmonische Bewegung mit konstanter Amplitude; hier dagegen, wo die Bedingung besteht ändern sich Amplitude und Phasenverschiebung mit der Zeit. Verf. betrachtet eine große Anzahl von speziellen Fällen. Zu einem mechanischen System untersucht Verf. insbesondere die Bahn (oder ihre Horizontalprojektion) eines Punktes, der die gleiche Zahl von Freiheitgraden besitzt (representative point). Ein solcher Punkt würde eine \textit{Lissajou}sche Kurve beschreiben, falls von einem Augenblick an \(\varphi\) und \(\varPhi\) konstant wären. In Wirklichkeit geht er fortwährend von einer solchen Kurve auf eine andere über. Verf. untersucht alle diese Kurven und sodann ihre Enveloppe.