On the numerical factors of the arithmetic forms \(\alpha^n\pm \beta^n\). (Q5909907)

Es seien \(\alpha+\beta\) und \(\alpha\beta\) zwei ganze rationale teilerfremde Zahlen. \(\alpha,\beta\) sind dann Wurzeln der Gleichung \[ z^2-(\alpha+\beta)z+\alpha\beta=0. \] Der Verf. setzt \[ D_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}, S_n=\alpha^n+\beta^n. \] \(D_n\) und \(S_n\) sind wieder ganze Zahlen. Wegen \(S_n=D_{2n}/D_n\) kommt es im Grunde nur auf die Zahlen \(D_n\) an. Diese werden auf ihre Faktoren untersucht. Alle Sätze leiten sich aus der Grundformel \[ D_n=\prod_d F_d(\alpha,\beta) \] her, wo das Produkt über alle Teile \(d\neq 1\) von \(n\) zu erstrecken ist, und \[ F_d(\alpha,\beta)=\prod_{i=1}^{\varphi(d)} (\alpha-\beta e^{\frac{2\pi i}{d}s_i}) \] ist (\(s_i\) sind die zu \(d\) teilerfremden Zahlen zwischen 0 und \(d\)). Die Zahlen \(F_d(\alpha,\beta)\) sind alle ganz und rational. \(D_n\) ist stets durch \(D_d\) teilbar, wenn \(d\) ein Teiler von \(n\). Wenn \(p\) eine Primzahl ist und \(p^a\neq 2\) die höchste in \(D_n\) enthaltene Potenz von \(p\), so ist \(p^{a+b}\) die höchste in \(D_{n\mu p^b}\) enthaltene Potenz von \(p\), falls \(\mu\) zu \(p\) prim ist. Wenn \(p\) kein Teiler von \((\alpha-\beta)^2\) und \(\alpha\) ist, so ist \(p\) ein Faktor von \(D_{p-1}\) oder \(D_{p+1}\), je nachdem \((\alpha-\beta)^{p-1}\equiv +1\) oder \(-1\pmod p\) ist. Der größte gemeinsame Teiler von \(D_n\) und \(D_{np}/D_n\) ist 1 oder \(p\), falls \(p\) eine Primzahl ist. Als Anwendung wird der \textit{Dirichlet}sche Satz über die Anzahl der Primzahlen einer arithmetischen Reihe für die linearen Formen \(p^kx-1\) (\(x=1,2,\dots,p\) eine ungerade Primzahl) und \(2^k 3x-1\) bewiesen.