Gelöste und ungelöste Probleme aus der Theorie der Primzahlverteilung und der \textit{Riemann}schen Zetafunktion. (Q5909911)

Der Vortrag, den Verf. auf Einladung des Organisationskomitees des internationalen Mathematiker-Kongresses in Cambridge gehalten hat, gibt in übersichtlicher Kürze und in einer auch für Fernerstehende leicht verständlichen Darstellung die wichtigsten Errungenschaften der neuesten Zeit, welche den Primzahlsatz und die \textit{Riemann}sche Zetafunktion betreffen; er betont dabei die Lücken, welche hier noch auszufüllen sind, und die Schwierigkeiten, welche sich bei der Inangriffnahme der noch ungelösten Probleme in den Weg stellen. Die Grundlage der meisten neueren Untersuchungen in diesem Gebiete bilden die Untersuchungen \textit{Hadamard}s über die ganzen Funktionen endlichen Geschlechts, durch welche frühere Untersuchungen von \textit{Laguerre} und \textit{Poincaré} zu einem gewissen Abschlüsse gebracht wurden. Ein wesentliches Resultat \textit{Hadamard}s war der Nachweis, daß die Funktion \[ (s-1)\zeta(s)\equiv (s-1)\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \] eine ganze, transzendente Funktion vom Geschlecht 1 ist, daß nämlich \[ (s-1)\zeta(s)=e^{K(s)}\prod_\varrho\left(1-\frac{s}{\varrho}\right)e^{s/\varrho}, \] wo \(\varrho\) alle Wurzeln von \(\zeta(s)=0\) durchläuft und \(K(s)\) eine lineare Funktion von \(s\) ist. Mit Hülfe dieser Untersuchungen fand \textit{Hadamard} selbst, gleichzeitig und unabhängig \textit{de la Vallée Poussin}, und auf einem dritten Wege von \textit{Koch} den Beweis des Primzahlsatzes \[ \pi(x)\sim \frac{x}{\log x}, \] wo \(\pi(x)\) die Zahl der Primzahlen \(\leqq x\) ist und das Zeichen \(\sim\) (asymptotisch gleich) bedeutet, daß mit unendlich wachsen dem \(x\) der Quotient der beiden Seiten gegen 1 konvergiert. Einen durchaus originellen, auch auf der Theorie der Zetafunktion beruhenden Beweis hat der Verf. gegeben, der sich besonders durch seine elegante Kürze auszeichnet und vor allem den Vorzug hat, daß seine Methode auch zu dem Beweise des analogen, allgemeinen Satzes über Primideale eines algebraischen Zahlkörpers führt, den der Verf. im Jahre 1903 aufgestellt hat. Die Beweismethode für den Primzahlsatz wird kurz skizziert. Mit besonderem Nachdruck wird auf das Interesse der Lage der Nullstellen der Zetafunktion hingewiesen, über welche bereits Riemann einige wichtige Vermutungen ausgesprochen hat. Zunächst die Vermutung einer asymptotischen Formel für die Anzahl der Nullstellen in dem Rechteck \[ 0\leqq \sigma\leqq 1, 0\leqq t\leqq T (s=\sigma+it), \] bei unendlich wachsendem \(T\), eine nicht besonders komplizierte Formel, welche zuerst \textit{v. Mangoldt} bewiesen hat; ferner die noch nicht allgemein bewiesene Vermutung, daß alle Nullstellen auf der Geraden \(\sigma=\frac12\) liegen. Gerade diese letztere Vermutung \textit{Riemann}s -- die Entscheidung über dieselbe ist eines der interessantesten, ungelösten Probleme in diesem Gebiete -- hat eine Reihe hervorragender Arbeiten hervorgerufen, sowohl über die Zetafunktion selbst als auch über allgemeinere \textit{Dirichlet}sche Reihen \[ \sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^s}, \] und wieder im besonderen die Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}, \] in der \(\mu(n)\) die sogenannte \textit{Möbius}sche Funktion darstellt und welche für \(\sigma>1\) mit der reziproken Zetafunktion identisch ist. Außer den Arbeiten des Verf. sind hier im besonderen Untersuchungen von \textit{Littlewood, Schnee, Bohr} hervorzuheben. Der Vortrag wird zusammen mit dem ausgezeichneten Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen sicherlich, dem Wunsche des Verf. entsprechend, diesem interessanten Gebiete der analytischen Zahlentheorie neue Mitarbeiter zuführen. (Man vgl. Deutsche Math. Ver. 21, 208--228 (1912; JFM 43.0264.01)])