Zur Komposition der quaternären quadratischen Formen. (Q5909913)

Im Anschluß an die Arbeit \textit{Speisers} (F. d.M. 43, 277, 1912), die einen entsprechenden Satz für binäre Formen bewiesen hat, gewinnt der Verf. das Resultat: Wenn eine bilineare Substitution die quaternäre quadratische Form \(A\) in das Produkt \(BC\) der beiden quatemaren quadratischen Formen \(B\) und \(C\) verwandelt, so gibt es zwei weitere bilineare Substitutionen, die aus der ersten durch rationale Operationen hergeleitet werden können, von denen die eine \(B\) in das Produkt \(AC\), die andere \(C\) in das Produkt \(AB\) transformiert. Hierbei sind die Koeffizienten beliebige Zahlen. Für den Fall, daß dieselben reell und rational sind, ist eine Zerlegung in das Produkt zweier Formen nur möglich, wenn die Determinante eine rationale Quadratzahl ist. Schließlich supponiert der Verf. alle Koeffizienten (auch die der Substitutionen) als ganze rationale Zahlen und nimmt nur primitive Formen. Eine solche heißt aus zwei andern komponiert, wenn sie durch eine bilineare Transformation in das Produkt der andern übergeführt werden kann. Dies ist dann und nur dann möglich, wenn ihre Determinante \(D=d^2\) eine Quadratzahl und ihre Adjungierte durch \(d\) teilbar ist.