Sur les équations linéaires aux différences finies. (Q5909939)

Verf. betrachtet eine lineare Differenzengleichung von der Form \[ (1)\quad \textstyle\sum P_i(x) u(x+i) =0 \quad (i = 0, 1,2,\dots,n), \] wo die \(P_i(x)\) Polynome sind, und zwar \(P_0(x)\) und \(P_n(x)\) von gleichem Grade \(p\), der von den anderen Koeffizienten nicht überschritten wird. Es existiert ein Fundamentalsystem von Lösungen der Gleichung (1) von der Form \[ (2)\quad u(x) = \int t^{x-1}\nu(t)dt, \] wo \(\nu(t)\) eine Lösung einer linearen Differentialgleichung \(p\)-ter Ordnung ist und das Integral auf geeignetem Wege erstreckt wird. In einer frühreren Note (C. R. 155, 1485-1487, 1912) hat Verf. für einen besonderen Fall der Gleichung (1) durch gliedweise Integration in (2) die Lösungen in konvergente Fakultätenreihen entwickelt. In dem allgemeinen Falle werden diese Reihen divergent; sie genügen formell der Gleichung (1) und stellen die Lösungen asymptotisch dar; sie können aber durch eine Transformation, die in den Untersuchungen von \textit{Mittag-Leffler} (Acta Math. 29, 101-182, F. d. M. 35, 469 (JFM 35.0469.*), 1905) eine große Rolle spielt, konvergent gemacht werden. Durch geeignete Wahl eines anderen Integrationsweges ergibt sich ein zweites Fundamentalsystem von Lösungen der Gleichung (1), gültig in einer linken Halbebene, während das erstere in einer rechten Halbebene gilt. Für beide Systeme wird das Verhalten im Unendlichen in ihrem entsprechenden Halbebenen ermittelt. Zwischen den beiden Fundamentalsystemen bestehen Beziehungen, die äußerst wichtig sind und für die linearen Differenzengleichungen dieselbe Rolle spielen wie die Monodromiegruppe für die linearen Differentialgleichungen. Durch diese Beziehungen, in Verbindung mit den obigen Untersuchungen, ist nunmehr das Verhalten der Lösungen von (1) im Unendlichen in der ganzen Ebene bestimmt.