Über die Nullstellen der Zetafunktion. (Q5910094)

Werden die komplexen Nullstellen der \textit{Riemann}schen \(\zeta\)-Funktion, \(\varrho = \gamma + \beta i\), nach wachsenden \(|\beta|\) geordnet, so konvergiert, wie \textit{v. Mangoldt} zuerst bewiesen hat, die Reihe \[ \sum_\varrho \frac{x^\varrho}{\varrho} \] für alle \(x > 0\). Die Art der Konvergenz weist aber verschiedene Eigentümlichkeiten auf; \textit{v. Mangoldt} bewies nämlich weiter: In jedem Intervall \(x_0 \leqq x \leqq x_1\) (\(0 < x_0 < x_1\)), dem die Zahl 1 oder eine Primzahlpotenz \(p^m\) oder deren reziproker Wert angehört, ist die Konvergenz ungleichmäßig. \textit{Landau} bewies die Ergänzung, daß sie in jedem anderen Intervall \(x_0 \dots x_1\) (\(0 < x_0 < x_1\)) gleichmäßig konvergiert. Diesen Tatsachen fügt \textit{Landau} in der vorliegenden Arbeit weitere wichtige Resultate hinzu, die sich auf die Reihen \[ (1) \;\;\sum_\varrho \frac{x^\varrho}{\varrho^\nu} \;(0 < \nu < 1), \quad (2) \;\;\sum_{\beta >0} \frac{x^\varrho}{\varrho^\nu} \;(0 < \nu \leqq 1), \quad (3) \;\;\sum_{\beta <0} \frac{x^\varrho}{\varrho^\nu} \;(0 < \nu \leqq 1) \] mit \(x > 0\) beziehen, in denen der Wert \(\varrho^\nu\) durch geradlinige Fortsetzung der analytischen Funktion \(\varrho^\nu\), die für \(\varrho = + 1\) gleich \(+1\) ist, erhalten wird. -- Die wesentlichsten Resultate sind diese: 1. Jede der Reihen konvergiert dann und nur dann, wenn \[ x \neq 1, \quad p^m, \quad \frac{1}{p^m}\;\text{ ist}. \] 2. Jede der Reihen konvergiert in einem Intervall \(0 < x_0 < x < x_1\) dann und nur dann gleichmäßig, wenn dasselbe (einschließlich der Endpunkte) frei von den Zahlen 1, \(p^m\), \(\dfrac{1}{p^m}\) ist. Beim Beweise springt überdies noch die Tatsache heraus, daß in den ausgeschlossenen Punkten nicht einmal die Partialsummen der Reihen beschränkt sind. Das Seltsame an diesen Sätzen ist, daß sie auf einen -- bisher noch in keiner Weise aufgeklärten -- arithmetischen Zusammenhang zwischen den komplexen Nullstellen \(\varrho\) der Zetafunktion und den Primzahlen hindeuten. Verf. wiederholt aber nochmals die schon in seinem Handbuch gemachte Bemerkung, er habe keine Ahnung, worin derselbe bestehe.