Mémoire sur le problème des trois corps. (Q5910131)

``In der vorliegenden Abhandlung erforschen wir zuerst den analytischen Charakter der Unbekannten in der Umgebung eines Zeitmomentes \(t_1\), wo zwei der Körper zusammenstoßen. Nach dem Prinzip der analytischen Fortsetzung definieren wir dann auf eindeutige Weise die Koordinaten der Körper für die reellen Werte von \(t\), die jenseit des Wertes \(t_1\) liegen, und wir erhalten so eine reelle Fortführung der Bewegung nach dem Stoße. Indem wir auf dieselbe Art die Bewegung jenseit jedes neuen Zusammenstoßes zwischen zweien der Körper fortführen, definieren wir die Koordinaten der Körper für immer größere Werte von \(t\). Nachdem wir festgestellt haben, daß die Werte der Zeit, für welche man so die Koordinaten definieren kann, eine endliche obere Grenze \(t\) nur dann zulassen können, wenn alle drei Abstände der Körper voneinander der Null zustreben, wenn \(t\) sich dem Werte \(\bar t\) nähert, zeigen wir, daß dieses letztere Geschehnis nur in dem Falle eintreten kann, wo die Konstanten der Flächen alle drei Null sind (ein Satz, den \textit{Weierstraß} in einem Briefe an \textit{Mittag - Leffler} vom 2. Februar 1889 ohne Beweis ausgesprochen hat. Gedruckt in Acta Math. 35, 55-58,1911). Hieraus geht schließlich hervor, daß die Koordinaten der Körper auf eindeutige Weise für alle Werte von \(t\) zwischen \(-\infty \) und \(+\infty \) definiert werden können, mit Ausnahme jenes speziellen Falles. Im Verlaufe unserer Untersuchungen beweisen wir dann den interessanten Satz: Wenn die Konstanten der Flächen nicht alle drei Null sind, kann man bei gegebenen Anfangsbedingungen eine positive Grenze angeben, unter welche die beiden größten Entfernungen zwischen den Körpern nicht hinabgehen. Indem wir uns auf dieses Ergebnis stützen, gelangen wir endlich zu dem folgenden Theorem, das das Hauptergebnis unserer Untersuchungen bildet: Wenn die Flächenkonstanten bei der Bewegung der drei Körper in bezug auf ihren gemeinsamen Schwerpunkt nicht alle Null sind, kann man eine solche Variable \(\tau \) finden, daß die Koordinaten der Körper, ihre gegenseitigen Entfernungen und die Zeit in konvergente Potenzreihen von \(\tau \) entwickelbar sind, welche die Bewegung für alle reellen Werte der Zeit darstellen, und zwar bei beliebigen Zusammenstößen, die zwischen den Körpern geschehen.'' Diese überraschend einfache Lösung des Dreikörperproblems ist ein ragender Markstein in der mathematischen Forschung der Himmelsmechanik.