Zur Theorie der Gravitation. (Q5910150)

Der Aufsatz ist die Übersetzung des Artikels ``Sulla teoria della gravitazione'' in [Rom. Acc. L. Rend. (5) 20, No. 2, 678--682 (1911; JFM 42.0852.02)]. Wegen des Gebrauches der in ihm abgeleiteten Formeln in den folgenden Veröffentlichungen müssen wir das frühere Referat ergänzen. Nach \textit{Minkowski} seien \(x\), \(y\), \(z\) und \(u = il = ict\) Koordinaten eines vierdimensionalen Raumes, die ``Ruhdichte'' \(\nu\) ein Skalar dieses Raumes, ebenso das Schwerkraftpotential \(\varPhi\), verknüpft durch die Differentialgleichung: \[ \dfrac{\partial^2\varPhi}{\partial x^2}+ \dfrac{\partial^2\varPhi}{\partial y^2}+ \dfrac{\partial^2\varPhi}{\partial z^2}+ \dfrac{\partial^2\varPhi}{\partial u^2}=4\pi\gamma\nu, \tag{1} \] wo \(\nu\) die Gravitationskonstante. Die bewegende Kraft für die Einheitsmasse ist ein Vierervektor \(\mathfrak F=-\operatorname{Grad}\varPhi\); die Bewegungsgleichungen lauten : \[ \ddot x=\mathfrak F_x,\;\ddot y=\mathfrak F_y,\;\ddot z=\mathfrak F_z,\;\ddot u=\mathfrak F_u, \tag{2} \] wo die Indizes partielle Ableitungen von \(\varPhi\) bedeuten. Daher gilt die Gleichung \[ \dot x{}^2+\dot y{}^2+\dot z{}^2+\dot u{}^2=-c^2 \tag{3} \] Wird hierin \(c\) als veränderlich angesehen, so folgt durch Differentiation \[ \dot x\ddot x+\dot y\ddot y+\dot z\ddot z+\dot u\ddot u= -c\dfrac{\partial c}{\partial \tau} \tag{4} \] oder \[ \dot x\dfrac{\partial \varPhi}{\partial x}+ \dot y\dfrac{\partial \varPhi}{\partial y}+ \dot z\dfrac{\partial \varPhi}{\partial z}+ \dot u\dfrac{\partial \varPhi}{\partial u}= -c\dfrac{\partial c}{\partial \tau} \tag{5} \] d. h. \(d\varPhi/d\tau=cdc/d\tau\), und hieraus durch Integration: \[ \tfrac12c^2-\tfrac12c_0^2=\varPhi-\varPhi_0, \tag{6} \] wo \(c_0\) und \(\varPhi_0\) Lichtgeschwindigkeit und Potential im Koordinatenursprung bedeuten. Also: ``Der Zuwachs des halben Quadrats der Lichtgeschwindigkeit ist gleich dem Zuwachs des Schwerkraftpotentials.'' Die Folgerungen aus (1) und (6) bilden den Inhalt dieses Aufsatzes.