Sur le principe de \textit{Dirichlet}. (Q5910284)

Die Abhandlung enthält eine ausführliche Darlegung der vom Verf. auf dem IV. internationalen Kongresse in Rom (1908) vorgetragenen Entwicklungen (F. d. M. 40, 450, 1909). Eine weiter vervollkommnete Darstellung seiner Ideen im Falle eines dreidimensionalen Gebietes enthält die mittlerweile in dem Krakauer Anzeiger 1909 (2), 197-264 erschienene Arbeit ``Sur le principe du minimum'' (F. d. M. 40, 451, 1909). Der vorliegende Aufsatz gliedert sich in drei Kapitel. Nach einigen einleitenden Bemerkungen wird in den beiden ersten Kapiteln das vom Verf. sogenannte transformierte Problem gelöst. -- Es sei allgemein \(D\) irgendein ebenes Gebiet und \[ B(P,Q)=\iint_D\left\{\frac{\partial P}{\partial x}\frac{\partial Q}{\partial x}+\frac{\partial P}{\partial y}\frac{\partial Q}{\partial y}\right\}\,dx\,dy. \] Es sei \(\varphi\) eine gegebene, so beschaffene Funktion, daß \(A(\varphi)=B(\varphi,\varphi)\) existiert, \(h\) eine beliebige in \(D\) reguläre Potentialfunktion, so daß \(A(h)\) existiert. Gesucht wird eine in \(D\) reguläre Potentialfunktion \(v\), so daß \(B(\varphi,h)=B(v,h)\). Das transformierte Problem hat, wie der Verf. zeigt, stets eine und nur eine Lösung. Der Beweis wird zunächst für ein Kreisgebiet geführt, sodann wird der Satz nach einem alternierenden Verfahren auf ein aus zwei sich teilweise überdeckenden Kreisflächen bestehendes Gebiet ausgedehnt, schließlich allgemein für einen beliebigen quadrierbaren Bereich erledigt. In dem dritten Kapitel wird zunächst gezeigt, daß, wenn es eine in \(D\) reguläre Potentialfunktion gibt, die auf dem Rande gleich \(\varphi\) ist, diese Potentialfunktion bis auf eine willkürliche Konstante mit der Lösung des transformierten Problems übereinstimmt. Genügt \(D\) einer gewissen Bedingung der Analysis situs, so ist, unter \(\varphi\) nunmehr irgendeine in \(D\) und auf dem Rande schlechthin stetige Funktion verstanden, die erwähnte Potentialfunktion in der Tat vorhanden. Sie ergibt sich als die Grenzfunktion einer unendlichen Folge von Lösungen gewisser transformierter Probleme.