Sur les congruences de normales qui appartiennent à un complexe donné. (Q5910342)

Verf. beschäftigt sich mit dem von \textit{Transon} [C. R. 52, 245-247; J. de l'Éc. Polyt. 22 (1861)] zuerst behandelten Problem die Normalenkongruenzen eines gegebenen Komplexes zu bestimmen. Zunächst gibt er eine historische Übersicht über den augenblicklichen Stand des Problems und skizziert die Ergebnisse, die von \textit{Transon, Darboux} (Darboux Bull. 1870; C. R. 1909), \textit{Lie} (Math. Ann. 5, 1872), Geisenheimer (Zs. f. Math. u. Phys. 1872) und \textit{Picard} (Doktorthese 1877) gewonnen sind. Seine eigenen Untersuchungen knüpfen sich an den \textit{Darboux}schen Satz, daß\ man das \textit{Transon}sche Problem explizit lösen kann, sobald man \(\infty^1\) nicht parallele Flächen kennt, deren Normalen dem Komplex angehören. Im ersten Kapitel wird die Bedeutung dieses Satzes dargelegt und durch Beispiele erläutert. Das zweite Kapitel gibt die nötigen analytischen Grundformeln, bezogen auf passend ausgewählte Koordinatensysteme. Sodann werden die Komplexe untersucht, die eine bekannte infinitesimale Transformation zulassen. Die nach \textit{Lie} zu erwartende Integrationsvereinfachung besteht darin, daß\ die des Problems auf eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung reduziert wird. Zu ihnen gehören diejenigen Komplexe, deren Gleichung in den \textit{Plücker}schen Koordinaten der zweiten Reihe homogen sind. Das vierte Kapitel gibt eine Einteilung der Komplexe nach dem Grade der Differentialgleichung des Problems \(f(p,q,x,y)=0\) (in der die unbekannte Funktion explizit nicht vorkommt). Nach \textit{Hadamard} wird die Gleichung interpretiert als die einer ebenen Kurve, indem \(p, q\) als kartesische Koordinaten, \(x, y\) als Parameter angesehen werden. Diese Kurve, die als \textit{Figuratrix} des Komplexes bezeichnet wird, charakterisiert diesen vollständig, so daß\ damit eine Einteilung der Komplexe gewonnen ist, die der Klassifikation der ebenen Kurven entspricht. Die allermeisten der bisher untersuchten speziellen Komplexe haben als Figuratrix eine Kurve ersten oder zweiten Grades (sind semilinear oder semiquadratisch). Ihr Studium wird in dem Kapitel \(V\) wesentlich weitergeführt. Während der \textit{Darboux}sche Satz die Kenntnis von ~ Lösungen des \textit{Transon}schen Problems verlangt, untersucht \textit{Turrière} im VII. Kapitel, welchen Vorteil die Kenntnis einer einzigen Partikularlösung für die allgemeine Lösung des Problems bietet. Es ergibt sich, daß, wenn von vornherein eine Fläche bekannt ist, die eine gegebene partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung befriedigt, und deren Normalen dem gegebenen Komplex angehören, sofort \(\infty^1\) Flächen derselben Art angegeben werden können, daß\ das Problem somit als gelöst betrachtet werden kann. Das nächste Kapitel beschäftigt sich mit den speziellen Komplexen, für die das \textit{Transon}sche Problem identisch ist mit dem Problem der Geodätischen der Singularitätenfläche. In den abschließenden Kapiteln nimmt Verf. die \textit{Transon}sche Methode auf, um ihre Beziehungen zu seinen eigenen Untersuchungen aufzudecken. Hierbei gewinnt er eine interessante physikalische Interpretation, die das Problem mit der Theorie der Wirbelbewegungen in Beziehung setzen. Die inhaltreiche Arbeit, die sehr lesbar geschrieben ist, zeichnet sich durch eine Fülle von Einzelergebnissen aus, die hier nicht einmal angedeutet werden konnten. Es hat dem Verf. offenbar Freude gemacht, seine allgemeinen Methoden auf eine möglichst große Anzahl von Beispielen anzuwenden, wodurch er auch für die Spezialuntersuchung der bisher bekannten Komplexe wertvolle Beiträge geliefert hat.