Über diejenigen Integrale linearer Differentialgleichungen, welche sich an einer Unbestimmtheitsstelle bestimmt verhalten. (Q5910421)

Die Koeffizienten der Differentialgleichung \[ y^{(m)} + p_1(x)y^{(m-1)} + p_2(x)y^{(m-2)}+ \cdots +p_m(x)y=0 \] mögen die Form haben: \(p_i (x) = x^{s_i}{\mathfrak P}_i (x)\), wo die \({\mathfrak P}_i (x)\) in \(x = 0\) reguläre, von Null verschiedene Funktionen und die \(s_i\) ganze Zahlen sind. Wenn der Nullpunkt eine Stelle der Bestimmtheit ist, also alle Integrale sich im Nullpunkt bestimmt verhalten sollen, so mußbekanntlich \(s_i \geqq -i\) sein, eine Bedingung, die zugleich notwendig und hinreichend ist; es ist dies der klassische Fall (\textit{Fuchs, Frobenius}). Beim Beweise dieses Satzes wird für \(y\) zunächst eine Reihe von der Form \(y = \sum^{\infty}_{\nu =0} D_{\nu} x^{\varrho +\nu}\) in die Differentialgleichung eingesetzt; dadurch erhält man eine algebraische Gleichung zur Berechnung von \(\varrho\) und für die Koeffizienten \(D_{\nu}\) eine Rekursionsformel, welche vielfach noch einige Anfangskoeffizienten willkürlich läßt. Nun kann man zeigen, -- und das ist der Schwerpunkt des ganzen Beweises --, daß die Reihe beliebiger Wahl des willkürlichen Anfangskoeffizienten in einem gewissen Gebiete um den Nullpunkt konvergiert und daher wirklich ein Integral darstellt. -- Ist dagegen der Nullpunkt eine Stelle der Unbestimmtheit, so gibt es im allgemeinen gar kein Integral der obigen Form. Zwar lassen sich ebenfalls derartige Reihen angeben, welche der Differentialgleichung formal genügen; diese sind aber bei allgemeiner Wahl der willkürlichen Anfangskoeffizienten für alle \(x\) divergent. Es handelt sich nun um die Frage, ob nicht bei passender spezieller Wahl trotzdem Konvergenz erzielt werden kann. \textit{Helge von Koch} (Acta Math. 18, 1894) hat diese Aufgabe unter einer speziellen Annahme mittels unendlicher Determinanten behandelt und zum Abschlußgebracht, indem es ihm gelang, alle sich bestimmt verhaltenden Integrale aufzufinden. Die besondere Annahme besteht darin, daß in der Differentialgleichung der Koeffizient der zweithöchsten Ableitung verschwindet; obwohl dies immer durch eine geeignete Transformation erzielt werden kann, so werden doch durch dieselbe im allgemeinen Integrale, die sich bestimmt verhalten, in solche transformiert, die sich unbestimmt verhalten, so daß für die ursprüngliche Aufgabe nichts gewonnen ist. Verf. (vgl. F. d. M. 40, 364/5, 1909, JFM 40.0364.04) bringt nun in der vorliegenden Arbeit das Problem zur vollständigen Erledigung, indem sämtliche an einer Unbestimmtsheitstelle sich bestimmt verhaltenden Integrale -- sowohl die logarithmenfreien, als auch die mit Logarithmen behafteten -- ermittelt werden, und zwar auf einem ganz anderen Wege, der keinerlei spezielle Annahme erfordert und außerdem einfacher ist. Es handelt sich dabei um einen weiteren Ausbau derjenigen Methode, die Verf. in zwei in den Acta Math. 34 (1910/11) erscheinenden Arbeiten auf Differentialgleichungen mit rationalen Koeffizienten angewandt hat; doch ist die vorliegende Arbeit von den angeführten unabhängig. Von den Resultaten sei der folgende Satz hervorgehoben: ``Die Koeffizienten der Differentialgleichung \[ P_0(x)y^{(m)} + P_1(x)y^{(m-1)}+ \cdots +P_m(x)y=0 \] seien in einem zusammenhängenden Bereich \(B\) regulär, und \(P_0 (x)\) habe in \(B\) nur \(s\) Nullstellen, jede ihrer Multiplizität entsprechend gezählt; dann gibt es mindestens \(m - s\) Integrale, die im ganzen Bereich \(B\) regulär sind. Sind die Koeffizienten insbesondere ganze (rationale oder transzendente) Funktionen, so sind auch die \(m - s\) Integrale ganze Funktionen''.